2. Простейшие свойства сходящихся числовых рядов
Если сходятся числовые ряды и
,
а λ и μ
− некоторые числа, то сходится и
числовой ряд
.
Доказательство.
Так как
сходятся числовые ряды
и
,
то сходятся последовательности частичных
сумм этих рядов. Пусть
,
. Очевидно,
что
Тогда
=
=
.
Следовательно, ряд сходится, так как сходится последовательность его частичных сумм.
Замечание. Если
и
− суммы числовых рядов
и
соответственно,
то число
является суммой числового ряда
.
Определение.
Числовой ряд
называется остатком
числового
ряда
.
Например, числовой
ряд
является остатком ряда
.
Действительно,
.
Если сходится числовой ряд , то сходится и любой остаток этого ряда.
Доказательство. Так как ряд сходится, то существует предел = S. Рассмотрим остаток этого ряда . Тогда последовательность частичных сумм остатка имеет вид:
,
,
... ,
,..
.
Очевидно, что
.
Тогда
=
=
.
Это означает, что остаток сходится.
Если сходится некоторый остаток числового ряда , то сходится и сам ряд.
Доказательство. Предположим, что сходится остаток . Это означает, что последовательность частичных сумм остатка
,
,...,
,...
сходится к числу
.
Так как
,
а последовательность
сходится, то сходится и последовательность
.
Значит, сходится и последовательность
частичных сумм
самого ряда
,
так как лишь конечное число её членов
не входит в сходящуюся подпоследовательность
.
Задачи.
2.1. Найти сумму числового ряда , если:
а)
a
n
=
,
n
N;
б)
a
n
=
,
n
N;
в)
a
n
=
,
n
N.
2.2. Доказать, что ряд является остатком числового ряда , если:
а)
bn
=
;
a
n
=
,
n
N;
б)
bn
=
;
a
n
=
,
n
N;
в)
bn
=
;
a
n
=
,
n
N.
2.3. Доказать, что
числовой ряд (
+
)
сходится тогда и только тогда, когда
сходится ряд (
+
).
3. Признаки сходимости положительных рядов
Определение. Числовой ряд называется положительным, если все его члены неотрицательны, то есть an ≥ 0, n N.
Теорема 3.1 (общий признак сходимости положительного ряда). Положительный числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм этого ряда ограничена сверху.
Доказательство необходимости. Если числовой ряд сходится, то сходится последовательность его частичных сумм . Любая сходящаяся последовательность ограничена. Значит последовательность ограничена сверху.
Доказательство достаточности. Дан положительный числовой ряд , причем последовательность его частичных сумм ограничена сверху. Так как
,
где an
≥ 0, то
,
n
N.
Это означает, что последовательность
частичных сумм
является неубывающей. Если неубывающая
последовательность ограничена сверху,
то она сходится. Значит, последовательность
частичных сумм
ряда
является сходящейся. Тогда сходится и
сам ряд
.
Пример. Дан
числовой ряд
.
Так как
,
n
N,
то последовательность частичных сумм ряда ограничена сверху. Согласно теореме 3.1, ряд сходится.
Определение.
Числовой ряд
называется мажорантой
положительного ряда
,
если
для всех n
N.
Первый признак сравнения. Если сходится мажоранта положительного ряда, то сходится и сам ряд. Если положительный ряд расходится, то расходится и любая его мажоранта.
Доказательство.
Предположим, что ряд
сходится и является мажорантой
положительного ряда
.
Так как положительный ряд
сходится,
то последовательность его частичных
сумм
ограничена сверху, то есть
≤ A,
n
N.
По условию , n N. Тогда
Sn = a1 + a2 + … + an ≤ b1 + b2 + … + bn = ≤ A, n N.
Это означает, что последовательность частичных сумм ряда ограничена сверху. В силу общего признака сходимости положительного ряда, этот ряд сходится.
Второе утверждение доказывается методом от противного.
Пример.
Исследуем на сходимость числовой ряд
.
Сначала покажем, что ln
n
< n
при n ≥ 2.
Для этого рассмотрим функцию f(x)
= x
– ln x,
где х >
0.
Эта функция
непрерывна на множестве x
≥ 1. Ее производная равна
,
причем
при всех x
> 1. Значит, функция f(x)
= x
– ln x
является возрастающей на множестве
x ≥ 1. Тогда
> 0 при n
> 1. Отсюда
при n
≥ 2 и, следовательно,
при n
≥ 2. Положительный ряд
расходится, как остаток гармонического
ряда
.
Тогда расходится и его мажоранта
.
Второй признак сравнения. Пусть даны два положительных ряда и , где bn > 0, n N. Тогда:
1) если
= 0,
то из
сходимости ряда
следует сходимость ряда
;
2) если = ∞, то из расходимости ряда следует расходимость ряда ;
3) если существует ≠ 0, то ряды и сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство.
Предположим, что существует предел
.
Сходящаяся последовательность всегда
ограничена. Значит, существует число
λ > 0 такое, что
≤
λ , n
N.
Тогда
,
n
N.
Если сходится ряд
,
то сходится и ряд
.
Тогда будет сходиться и ряд
,
так как имеет сходящуюся мажоранту
.
Первое утверждение доказано.
Если
= ∞, то
= 0. Рассуждая
аналогичным образом и используя второе
утверждение первого признака, получим,
что из расходимости ряда
следует расходимость ряда
.
Наконец, если ≠ 0, то существует ≠ 0. Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из сходимости ряда следует сходимость ряда . Аналогичный вывод получаем и для расходящихся рядов. Таким образом, ряды сходятся или расходятся одновременно.
Пример.
Рассмотрим числовой ряд
.
Ранее было установлено, что ряд
сходится. Так как
,
то сходится и ряд .
Теорема 3.2. (интегральный признак сходимости Коши). Пусть функция f(x) является неотрицательной и невозрастающей на промежутке [1, +∞[. Если
a1 = f (1), a2 = f (2),…, an = f (n), …,
то числовой ряд
сходится
тогда и только тогда, когда сходится
несобственный интеграл
.
Доказательство. Если x [k,k+1], то f(k+1) ≤ f(x) ≤ f(k). Значит, ak+1 ≤ f(x) ≤ ak, где k = 1, 2, …. Тогда
,
k
= 1, 2, ….
Отсюда
,
k
= 1,2, …
Предположим, что
числовой ряд
сходится.
Это означает, что последовательность
частичных сумм
этого ряда ограничена сверху, то есть
существует число А
такое, что
,
n
N.
Рассмотрим функцию F(b)
=
,
где b
≥ 1. Так как
по условию функция f(x)
≥ 0 на
множестве [1,+∞[, то F(b)
− неубывающая функция. Значит, если b
< N,
где N −
некоторое фиксированное натуральное
число, то
≤ a1 + a2 + …+ aN – 1 ≤ A.
Таким образом,
F(b)
≤ A,
где b
≥ 1. Так как
неубывающая на множестве b
≥ 1 функция
F(b)
ограничена сверху на этом множестве,
то существует
.
Значит, интеграл
сходится.
Предположим
теперь, что сходится несобственный
интеграл
.
Это означает, что функция
ограничена сверху, то есть существует
число В
такое, что
для любого b
[1,+∞[
. Тогда
=
= a1
+
≤ a1
+ B,
n
N.
Значит, последовательность частичных сумм положительного ряда ограничена сверху. По теореме 3.1 ряд сходится.
Пример.
Числовой ряд
называется обобщенным
гармоническим
рядом. При k
= 1 мы имеем
гармонический ряд
.
При k
≤ 0 ряд
расходится в силу необходимого признака
сходимости. Если
,
то функция f(x)
=
является неотрицательной и невозрастающей
на множестве x
≥ 1, причем
f
(1) =
,
f
(2) =
,
…, f
(n)
=
,…
. Несобственный интеграл
сходится при
и расходится при
.
По теореме 3.2 ряд
сходится при
и расходится при
.
Задачи.
3.1. Используя общий признак сходимости положительных рядов, доказать сходимость числового ряда , если:
а)
a
n
=
,
n
N;
б)
a
n
=
,
n
N;
в)
a
n
=
,
n
N.
3.2. Доказать, что
ряд
сходится,
если сходится положительный ряд
.
3.3. Исследовать сходимость положительного ряда:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
.
3.4. Исследовать сходимость ряда с помощью интегрального признака Коши:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
3.5. Исследовать, при каких p сходится числовой ряд:
а)
;
б)
;
в)
.