4. Поняття границі функції кількох змінних(фкз).

ФКЗ назив. відображення , де ; ;

Графіком ФКЗ наз. множина у n+1 вимірному просторі вигляду . При n=2 графіком є поверхня в 3-вимірному просторі.

_Для визначають лінії рівня ФКЗ- множини точок обл. визначення,в яких ФКЗ має стале значення ,

_,

Означення: нехай - точка дотикання обл. визначення Х функції f(x). т. назив. границею при

Означення Коші:

Нехай Е - точка дотикання Е.

Приклад.

Доведемо,що функція в т.{0,0} не має границі. Р-ня променя з вершиною т.(0,0) і напрямний вектор (a,b)

x=at , y=bt , t>0

,

5. Властивості границь функцій кількох змінних. Границя композицій функцій.

Властивості границь:

1. Якщо має границю при , то вона єдина

2. Якщо при має границею число а і воно скінчене, то існує і обмежена на

3. Мають місце арифметичні властивості границь, властивості НМФ і властивості переходу до границь у нерівностях

Нехай , - координати функції

Озн.

Теорема. Якщо

6. Повторні границі.

Нехай -деякі переставлення номерів .

; ; ; - повторна границя .

Зауваження : з існування границі не випливає існування повторних границь і навпаки.

Теорема: Якщо, існує та існують внутрішні повторні границі : та ,

тоді існують повторні границі та виконується:

7.Означення неперервності функцій кількох змінних в точці. Властивості неперервних функцій.

Означення

- точка дотикання Х

- неперервна в якщо

Означення *

неперервна в точці

Нехай ,

Означення**

_непер в т

Властивості неперервних ФКЗ

1.Якщо визначена в деякому околі і неперервна в точці то вона неперервна в цій точці по кожній із змінних,тобто

є неперервною в точці

2.Якщо і визначені на Х і неперервні в точці , то наступні функції є неперервними в :

3.Нехай задано відображення

Теорема (наслідок теореми про границю композиції ФКЗ)

Якщо відображення неперервне в точці

Нехай неперервна в т неперервна в т

Зауваження : результат теореми можна записати у вигляді

4. Елементарною ФКЗ наз функція що утворюється з основних елементарних функцій(однієї відповідної змінної) за допомогою 4 арифметичних дій та композиції елементарних функцій.

Будь-яка елементарна ФКЗ неперервна на множині свого визначення

8.Рівномірна неперервність функцій кількох змінних.

Означення

називається рівномірно неперервною на Х, якщо

Теорема Кантора

будь-яка неперервна на компакті функція рівномірно - неперервна на ньому.

Наслідок : функція неперервна на відрізку є рівномірно неперервною на ньому.

Доведення від супротивного

неперервна на компакті Х, але не рівномірно-неперервна на ньому

вибираємо

З послідовності виділяємо збіжну послідовність

За нерівністю трикутника

За умовою неперервності на Х

Суперечність

9. Частинні похідні. Диференційованість функцій кількох змінних.

внутрішня точка Х.

Повний приріст .

Означення: Частинною похідною функції в точці по змінній називається границя, якщо вона існує і скінчена

Зауваження: Якщо не є внутрішньою точкою Х, тоді .

З існування частинної похідної функції в точці не випливає неперервність функції в цій точці.

Означення: Перейдемо до простору .

Функція називається диференційованою в точці якщо виконується

приріст функції в точці .

.

- НМФ при .

Лема. Для того, щоб функція , задана в деякому околі точки була диференційована в цій точці необхідно і достатньо щоб .

.

Доведення

, .

Теорема (Перша необхідна умова диференційовності)

Якщо функція диференційна в деякій точці, то вона неперервна в цій точці.

Доведення

Теорема (Друга необхідна умова диференційованості)

Якщо функція диференційовна в точці та - диференціал нашої функції, то функція в точці має частинні похідні, причому:

Зауваження: Якщо функція диференційовна в точці , то виконується

Теорема (достатня умова диференційовності)

Якщо функція має в околі точки частинні похідні то вони неперервні в цій точці, функція диференційовна в ній.

Доведення

Візьмемо довільний окіл точки

Застосуємо формулу Лагранжа: