1. Линейное однородное уравнение:
(2)
- коэффициенты уравнения (2) определены
в n-мерном пространстве.
Свойство: одна из этих функций в ноль не обращается.
Определение. Системой дифференциальных уравнений в симметричной форме соответствует (2) и называется следом системы.
(3)
(3’)
Теорема 1:
является интегралом (3), тогда она является
решением уравнения (2).
Доказательство:
1) - интеграл (3)
-
решение (2).
2) - решение уравнения (2)
Теорема 2: формула общего решения
(2) имеет вид
(5).
- независимые интегралы (3)
- производная дифференциальная функция.
Доказательство:
- некоторое решение уравнения (2)
доказать
,
что
- фиксируем
- ?
Поскольку
,
то система имеет не нулевое решение
- зависимы
5. Квазилинейное уравнение.
-
(6)
(7)
(7) – решение (6)
- ?
-
(8)
(2), (6) накладываем начальное условие.
(9)
(2), (9) – задача Коши
(6), (9) – задача Коши
Схема решения задачи Коши:
1) Найти систему (3).
2)
…
…
…
3)
Схема решения задачи Коши:
1)
- интегралы в сим.
(8)
2)
…
3)
Линейная зависимость функций.
Определение.
л.з.
.
Если же
л.незав. на интервале
.
Предположим, что
раз
непрерывно дифференцируемо на
.
Определение. Вронскианом (определителем Вронского) функций называется следующий определитель:
Теорема:
л.з. на
.
Доказательство:
…
фиксированное
- ?
Сл.
л.незав.
Сл. Многочлены равны тогда и только тогда, когда у них равны коэффициенты при одинаковых степенях.
Линейные, однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
(1)
Опр.
Характеристическим многочленом Для
(1) наз-ся многочленом
,
а характеристическим уравнением (1)
наз-ся
.
Св-ва: :
1) (Основная теорема алгебры)
;
где:
-корни
многочлена,
-кратности
многочлена.
;
Существует единственный, если не считать
порядок множителей представления,
представления мн-на
в виде
2) Свойства многочлена с действ. коэффициентом.
Если некоторое комплексное число является корнем кратности многочлена :то компл. сопреж. к нему число так же корень мн-на тойже кратности.
3) (Критерий кратности корня)
,
тогда и только тогда будет кратностью
корня
когда
,
Правила нахождения Ф.С.Р. Ур-ния (1):
Найти все корни соотв. Хар-ко многочлена
вместе с их кратностями каждому действ.
корню
поставить в соответствие функции
;
k-кратность корня;
,
А каждой паре комплонарных сопряженных
нужно сопоставить ф-цию:
s-кратность каждого корня.
Функции указанным образом сопоставляются всем действительным корням и всем парам комплексн. Сопряж., образуют Ф.С.Р. Ур-ия (1)
Док-во:
Для частных случаев
1) все корни характеристического многочлена действительны и имеют кратность=1.
-Ф.С.Р.
подставим в (1)
2) n=2
Где
.
Пример1: Пример2:
Пример 3:
