§3. Эллипсоид.

Определение. Множество точек пространства, координаты которых в некоторой прямоугольной декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

, (3.1)

называют эллипсоидом.

Будем считать, что .

Из уравнения (3.1) следует, что если на эллипсоиде лежит точка , то на нем лежат и точки с любым набором знаков и . Это означает, что для поверхности (3.1) начало координат – точка – является ее центром симметрии и называется центром эллипсоида; оси координат являются осями симметрии и их называют главными осями; координатные плоскости являются плоскостями симметрии и называются главными плоскостями поверхности.

Если , то эллипсоид (3.1) называют трехосным.

Рассмотрим сечения поверхности (3.1) плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

1) Сечения эллипсоида плоскостями определяются уравнениями

или (3.2)

а) Если , то система (3.2) действительных решений не имеет. Это означает, что плоскость в этом случае не пересекает поверхность (3.1).

б) Если , то система (3.2) имеет одно единственное решение при и одно единственное решение при .

Точки и пересечения поверхности (3.1) с осью называют вершинами эллипсоида.

в) Если , то уравнения (3.2) равносильны системе

(3.3)

Уравнения (3.3) определяют эллипс, расположенный в плоскости . Его центр находится в точке , оси параллельны координатным осям и . Длины полуосей

и

изменяются от и до при изменении от до соответственно. Если , то сечением поверхности (3.1) является самый большой из эллипсов (3.3):

(3.4)

2) Сечения поверхности (3.1) плоскостями и рассматриваются совершенно аналогичным образом. При этом точки , и , пересечения эллипсоида с координатными осями и соответственно также называют вершинами эллипсоида.

Из приведенных выше рассуждений следует, что эллипсоид целиком расположен внутри параллелепипеда, вершины которого находятся в точках . Каждая грань этого параллелепипеда имеет с поверхностью (3.1) только одну общую точку – его вершину.

Приведенные рассуждения и сделанные при этом выводы позволяют получить представление о форме рассматриваемой поверхности (Рис. 5).

Рис. 5. Эллипсоид.

Если , то эллипсоид (3.1) называют вытянутым эллипсоидом вращения; он получается вращением эллипса вокруг его большой оси (Рис. 6).

Рис. 6. Вытянутый эллипсоид вращения.

Если , то эллипсоид (3.1) называют сжатым эллипсоидом вращения; он получается вращением эллипса вокруг его малой оси (Рис. 7).

Рис. 7. Сжатый эллипсоид вращения.

Если , то эллипсоид (3.1) является сферой радиуса с центром в начале координат (Рис.8).

Рис. 8. Сфера.

§4. Однополостный гиперболоид

Определение. Множество точек пространства, координаты которых в некоторой прямоугольной декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

, (4.1)

называют однополостным гиперболоидом.

Будем считать, что .

Из уравнения (4.1) следует, что если на однополостном гиперболоиде лежит точка , то на нем лежат и точки с любым набором знаков и . Это означает, что для поверхности (4.1) начало координат – точка – является ее центром симметрии и называется центром однополостного гиперболоида; оси координат являются осями симметрии и их называют главными осями; координатные плоскости являются плоскостями симметрии и называются главными плоскостями этой поверхности.

Вершинами однополостного гиперболоида называют точки его пересечения с главными осями. При эта поверхность имеет четыре вершины: и .

Рассмотрим сечения поверхности (4.1) плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

1) Сечения однополостного гиперболоида плоскостями определяются уравнениями

или (4.2)

Так как , то уравнения (4.2) равносильны системе

(4.3)

Соотношения (4.3) определяют эллипс, расположенный в плоскости . Его центр находится в точке , оси параллельны координатным осям и . Длины полуосей

и

изменяются от и до при изменении от до соответственно.

Наименьший из эллипсов (4.3) получается при . Он расположен в плоскости и определяется уравнениями

(4.4)

Его называют горловым эллипсом.

2) Сечения однополостного гиперболоида (4.1) плоскостями определяются уравнениями

или (4.5)

а) Если , то система (4.5) равносильна соотношениям

(4.6)

Уравнения (4.6) определяют гиперболу, расположенную в плоскости при условии . Центр ее расположен в точке , действительная ось параллельна оси , мнимая – оси . Длины полуосей

и

изменяются от и до при изменении от до соответственно.

б) Если , то система (4.5) равносильна соотношениям

(4.7)

которые определяют пару пересекающихся прямых , расположенных в плоскостях .

в) Если , то система (4.5) равносильна соотношениям

(4.8)

Уравнения (4.8) определяют гиперболу, расположенную в плоскости при условии . Центр ее расположен в точке , действительная ось параллельна оси , мнимая – оси . Длины полуосей

и

изменяются от до при изменении от до соответственно.

3) Сечения поверхности (4.1) плоскостями рассматриваются аналогично предыдущему случаю.

Приведенные рассуждения и сделанные при этом выводы позволяют получить представление о форме рассматриваемой поверхности (Рис. 9).

Рис. 9. Однополостный Рис. 10. Однополостный гиперболоид

гиперболоид. вращения.

Если , то поверхность (4.1) называют однополостным гиперболоидом вращения, так как она может быть получена вращением гиперболы

вокруг ее мнимой оси (Рис. 10).