10. Квадратичные формы и квадрики.

Рассмотрим квадратичную форму f как функцию на евклидовом пространстве V . Пусть A _ матрица квадратичной формы в некотором ортонормированном базисе пространства V . Поиск ортонормированного базиса пространства V , в котором матрица квадратичной формы диагональна, можно осуществить следующим образом:

1. Вычисляем характеристический многочлен det(A−λE) матрицы A и его корни.

2. Для каждого корня ρ кратности k характеристического многочлена det(A − λE) находим k линейно независимых собственных векторов матрицы A.

3. При k > 2 проводим ортогонализацию собственных векторов, соответствующих ρ.

4. Нормируем все собственные векторы и получаем ортонормированный базис в V .

5. Пишем диагональную матрицу квадратичной формы полученном ортонормированном базисе, располагая по диагонали собственные значения матрицы A в соответствии раcположением собственных векторов в базисе.

3.2 Квадрики

В ортонормированной системе координат задано уравнение квадрики

Обозначим через A матрицу квадратичной формы, и пусть .

Найдем ортонормированную систему координат, в которой уравнение квадрики будет иметь вид

где s r−s, сохранив исходную ориентацию системы координат.

Сформулированную задачу решаем по следующему плану:

1. Умножим (если это необходимо) уравнение квадрики на −1.

2. Поворотом системы координат приведём квадратичную форму квадрики к виду

где для всех

3. Если необходимо, дополнительным поворотом оставим в полученном уравнении квадрики не более одного линейного члена с номером большим, чем r.

4. Выполним параллельный перенос системы координат и получим уравнение квадрики вида

5. Разделим уравнение на 0.

Напомним, что под поворотом системы координат понимаем такое ортогональное преобразование координат, которое оставляет начало координат на месте и переводит ортонормированную систему координат в ортонормированную с сохранением ориентации. В этом случае матрица преобразования координат имеет вид

где T - ортогональная матрица, то есть T ^tT = T T ^t = E и det T = 1. Заметим, что произведение двух поворотов является поворотом. Под параллельным переносом системы координат понимаем такое преобразование координат, которое изменяет только начало координат. Параллельный перенос - это преобразование координат с матрицей преобразования координат

Переход к уравнению квадрики вида

Осуществляется при помощи поворота, переносов и делений уравнения на ненулевые числа.

11. Проективные пространства и их модели. Проективные координаты.

Проективное над телом K — пространство состоящее из прямых (одномерных подпространств) некоторого линейного пространства L(K) данным телом. Данные прямые называются точками проективного пространства.

Если L имеет размерность n + 1, то размерностью проективного пространства называется число n а само проективное пространство обозначается KPⁿ и называется ассоциированным с L (чтобы это указать, принято обозначение P(L)).

Точки KPⁿ можно описывать с помощью однородных координат.

Проективное пространство может быть также определено системой аксиом типа гильбертовской, что наиболее интересно в случае проективной плоскости. Тогда оказывается, что проективная плоскость, определённая аксиомами может быть определена как двухмерное проективное пространство над некоторым телом тогда и только тогда, когда выполняется т. н. аксиома Дезарга, которая для размерностей больших 2 является теоремой.

Пусть M есть гиперплоскость в линейном пространстве L. Проективное пространство называется проективной гиперплоскостью P(L).

Свойства

На дополнении проективной гиперплоскости существует естественная структура аффинного пространства.

Обратно, взяв за основу аффинное пространство A, можем получить проективное пространство как аффинное, к которому добавлены бесконечно удалённые точки. Первоначально проективное пространство и было введено таким образом.

Проективные координаты — взаимно однозначное соответствие между элементами n-мерного проективного пространства KPⁿ над телом K и классами эквивалентности упорядоченных конечных подмножеств элементов тела K.

Пусть в совокупности строк (x₀,x₁,...,x_n) не равных одновременно нулю элементов тела K введено отношение эквивалентности слева (справа): (x₀,x₁,...,x_n)˜(y₀,y₁,...,y_n), если существует такой, что

Тогда совокупность классов эквивалентности находится во взаимно однозначном соответствии с совокупностью точек проективного пространства KPⁿ.