4. Находим значение постоянной c, используя значение . Записываем ответ.
Вопрос 38. Интеграл от функции комплексной переменной. Его свойства. Вычисление
Определение.
Пусть на комплексной плоскости С задана
ориентированная кусочно-гладкая
кривая 
,
на которой определена функция w = f(z).
Разобьём кривую точками z0 = A, z1, z2,
…, zn = B на n частей,
на каждой из дуг 
выберем
произвольную точку tk,
найдём f(tk) и
составим интегральную сумму 
.
Предел последовательности этих сумм
при n →
∞,max|Δ z k|
→ 0 (k =
1, 2, ..., n),
если он существует, не зависит ни от
способа разбиения кривой на дуги, ни от
выбора точек tk,
называется интегралом от функции w = f(z) по
кривой L и
обозначается 
.
Теорема. Если
функция w = f(z) непрерывна
на кривой L,
то она интегрируема по этой кривой.
Свойства
интеграла от ФКП. Мы
доказали, что 
выражается
через два действительных криволинейных
интеграла второго рода, поэтому он
обладает всеми свойствами этих
интегралов:
1. 
- произвольные
комплексные постоянные);
2. 
-
кривые без общих внутренних
точек):
3. 
-
кривая, совпадающая с L,
но проходимая в противоположном
направлении;
4.
Если l -
длина кривой L,
| f( z)|
≤ M при z ∈ L,
то 
.
5) Вычисление
интеграла интегрированием по
параметру: 
f(z)dz=
f[z(t)]
z '(t)dt.
6) Замена переменных.
Пусть $
j (x ):
z=j (x );
C<=> G на
плоскости x и j (x )О C
(D)
и однолистная в D, где D- область комплексной
плоскости x ,
содержащая G .
=>
f(z)dz=
f[j (x )]j '(x )dx .
Вопрос 39. Теорема Коши для односвязной области
Теорема Коши. Если
f(z)
C
(g),
в односвязной области
g, то для замкнутого контура 
g 
f(z)dz
=0.
Доказательство.
f(z)dz=
udx-vdy+i
vdx+udy=
(по
формуле Грина)
=
(-vx-uy)dxdy+i
(ux-vy)dxdy=
(из условия
Коши-Римана :
ux=vy;
uy=-vx =
(uy-uy)dxdy+i
(vy-vy)dxdy=0.
Замечания.
1)
Требование односвязности области
является существенным. Например, пусть
область g представляет собой круговое
кольцо 1<|z|<3. Функций
f(z)=1/z
C
(g).
Однако,
. Это
связан в частности с тем, что контур
|z|=2 не образует полную границу области
аналитичности f(z).
2)ОпределениеФункция
называется аналитической
в замкнутой области g
( f(z)
C
(
)
), если f(z)
C
(g)
и f(z)
C (
).
Т.е. f(z)
C(
).
Определение справедливо и для многосвязной
области.
II-я Теорема
Коши. Если f(z)
C
(
),
g-односвязная, то 
f(z)dz
=0.
Вопрос 40. Теорема Коши для многосвязной области
Теорема Пусть
f(z)
C
(g),
g-многосвязная, ограниченная извне
контуром C0,
а изнутри- контурами C1,
C2,...,Cn и
пусть f(z)
C
(
).
Тогда
f(z)dz
=0, где
С-полная граница g, С= C0
C1
C2
...
Cn,
проходящая в положительном направлении.
Доказательство. Проведем гладкие кривые g 1,g2,...,gn, соединяющие контур C0 с контурами C1, C2,...,Cn и не пересекающиеся между собой . Тогда область, ограниченная кривыми C0,C1,C2,...,Cn и кривыми g1,g2,...,gn, проходимыми дважды в противоположных направлениях оказывается односвязной. По II теореме Коши интеграл по границе этой области равен 0. Но интегралы по |
|
вспомогательным
кривым g1,g2,...,gn проходятся
дважды в противоположных направлениях
и при суммировании интегралов выпадают.
Поэтому
.