25. Частотный критерий Найквиста.

Структурная приведена к расчетной схеме.

На координатной комплексное число W(jω) представляется вектором с началом в точке O и координатами {U(ω), V(ω)}. Если изменять ω от -∞ до +∞, то вектор W(jω) будет меняться по величине и фазе. Получившаяся кривая называется амплитудно – фазовой характеристикой разомкнутой системы. Она симметрична отн. Оси U(ω). Физический смысл имеют только положительные частоты, поэтому вычерчивают только ту часть, которая соответствует положительным частотам ω≥0.

Введем вспомогательную ф-ию:

Пусть хар. уравнение замкнутой системы P(λ)=0 имеет m корней с положит. действит. частями и n-m c отриц., а хар. ур-е разомкнутой системы Q(λ)=0 имеет l корней с положит. действительными частями и n-l с отриц. действит. частями.

На основе принципа аргумента будет:

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы все ее корни характеристического уравнения были с отрицательными действительными частями, т.е. m=0, тогда:

Т.о., если разомкнутая система неустойчива и имеет l корней с положит. действит. частями, то замкнутая система будет устойчивой тогда и только тогда, когда АФХ вспомогательной функции W₁(jω) при изменении ω от 0 до ∞ охватывает начало координат в положительном направлении l/2 раз. Число оборотов вектора W₁(jω) вокруг начала коор-д равно числу оборотов вектора W(jω) вокруг точки {-1,j0}.

Критерий Найквиста: Если разомкнутая САУ неуст., то, для того чтобы ЗСАУ была уст., необх. и достат. чтобы АФХ разомк. сис-мы W(jω) при измен. ω от 0 до ∞ охватывала точку {-1,j0} в положит. направ. l/2 раз, где l – число корней хар. ур-я РСАУ.

При сложной W(jω) могут возникнуть трудности при определении числа оборотов вокруг критич. точки {-1,j0}. В этом случае для суждения об устойчивости следует воспользоваться «правилом переходов», предложенным Цыпкиным.

Критерий Найквиста: Если РСАУ неуст., то для того чтобы ЗСАУ была уст. необх. и достат., чтобы разность между числом положительных и отриц. переходов АФХ РСАУ W(jω) через отрезок (-∞,-1) при изменении ω от 0 до ∞ была равна l/2 раз.

26. Анализ устойчивости сау по лчх.

В соответствии с критерием Найквиста устойчивость ЗСАУ определяется числом переходов АФХ W(jω) отрезка (-∞,-1) вещественной оси. Если АФХ W(jω) пересекает отрицательную вещественную полуось, то ЛФЧХ пересекает одну из линий ±π(2i+1). Переходы через эти линии не опасны с точки зрения устойчивости, если они совершаются справа от точки (-1,j0), т.е. если |W(jω)|<1 и, следоват. LmA(ω)=20lg|W(jω)|<0. Т.о область отриц. ЛАЧХ при исследовании уст. интереса не представляет.

Положительному переходу (сверху вниз) через отрезок (-∞,-1) характеристики W(jω) соответствует пересечение ЛФЧХ при LmA(ω)=20lg|W(jω)|>0 прямых ±π(2i+1) снизу вверх (точка 2 на рис.), а отриц. переходу – сверху вниз (точка 1 на рисунке).

Критерий устойчивости Найквиста применительно к ЛЧХ может быть сформулирован следующим образом:

Для того чтобы САУ была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы разность между положительным и отрицательным числом переходов ЛФЧХ прямых ±π(2i+1) во всех областях, где ЛАЧХ положительна LmA(ω)=20lg|W(jω)|>0, была равна l/2.