3. Сходящиеся последовательности.

 Пусть каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое единственное действительное число x. В этом случае на множестве натуральных чисел определена функция:x=F(n), которая называется числовой последовательностью.

Последовательность {x_n}называется сходящей, если существует ее предел.

Число a называется пределом последовательности {x_n}, если для каждого ε > 0 существует такой номер N, что для всех n ≥ N выполняется неравенство |x_n-a|≤ ε.

Последовательность Xn называется ограниченной, если существует A такое, что для любого натурального n выполняется |Xn|≤A.

Последовательность Хn неограниченная, если для любого А найдется натуральное n такое, что |Xn|>A.

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают (для любого натурального n) ( или ).

Последовательность   называется бесконечно большой, если для любого положительного числа A можно указать номер N такой, что при   все элементы   этой последовательности удовлетворяют неравенству   .

Последовательность   называется бесконечные малой, если для любого положительного числа A можно указать номер N такой, что при   все элементы   этой последовательности удовлетворяют неравенству |x_n|<A .

Свойства:

1. Имеют один единственный предел

2. Всегда ограничены

3. Если X_na, то x±y_na±b, где y_nb, при n∞,

4. Для умножения тоже самое

5. Для деления тоже самое, b≠0

Геометрический смысл предела последовательности. Число а – предел числовой последовательности {x_n}, если для любой ɛ-окрестности точки а найдется такое число N, что для всех номеров n>N соответствующиеx_nпопадают в ɛ-окрестность точки а.

№4 Основные теоремы о пределах последовательностей.

 Пусть каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое единственное действительное число x. В этом случае на множестве натуральных чисел определена функция:x=F(n), которая называется числовой последовательностью.

Число a называется пределом последовательности {x_n}, если для каждого ε > 0 существует такой номер N, что для всех n ≥ N выполняется неравенство |x_n-a|≤ ε.

Если две последовательности {x_n} и {y_n} имеют пределы, равные соответственно a и b, то:

     а) Последовательность {x_n ± y_n} имеет предел равный a ± b, т. е.

    б) Последовательность {x_n   y_n} имеет предел равный ab, т. е.

          с) Последовательность   имеет предел равный  , т. е.

(limx_n)/(lim y_n)

n->∞

1.Если последовательность такая, что {y_b}≤{x_n}≤{z_n} для всех   в некоторой окрестности точки  , причем последовательности  {y_b} и {z_n}  имеют одинаковый предел при  , то существует предел последовательности  при  , равный этому же значению, то есть

Lim _n∞y_n=Lim _n∞z_n=a =>Lim _n∞x_n=a

2.ПустьLim _n∞x_n=a, Lim _n∞y_n=b. Тогдаеслиx_n≤y_n, тоa≤b.

№ 5 Предел монотонной последовательности. Число е.

 Пусть каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое единственное действительное число x. В этом случае на множестве натуральных чисел определена функция:x=F(n), которая называется числовой последовательностью.

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают (для любого натурального n) ( или ).

Последовательность называется:

1)Возрастающей, если для любого n x_n<x_n+1

2)Убывающей, если для любого nx_n>x_n+1

3)Неубывающей, если для любого nx_n≤x_n+1

4)Невозрастающей, если для любого nx_n≥x_n+1

Число a называется пределом последовательности {x_n}, если для каждого ε > 0 существует такой номер N, что для всех n ≥ N выполняется неравенство |x_n-a|≤ ε.

Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится, а именно: если последовательность {x_n} монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее  существует конечный предел, равныйsup{x_n} ( inf{x_n} ).

e — математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное число. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера.

Определяется из второго замечательного предела или как сумма: