Вопрос 4. Классическое определение вероятности события, свойства вероятности. Статистическое и геометрическое определение вероятности.

Классическое: вероятность случайного события – численная мера объективной возможности его наступления. Условия применения: Ω – конечное, равновозможность исходов. Всего n исходов. Пусть m исходов составляют событие А. Вероятностью события А называется p(A)=m/n. Свойства: А+В=В+А; АВ=ВА; (А+В)С=АС+ВС; законы де Моргана.

Статистическое определение вероятности. Эксперимент проводится n раз. В этой серии m раз появляется А. W(A)=m/n – относительная частота А. n => бесконечность, w(A)=>P(A). Свойства: для всех А, P(A)>0; P(Ω)=1; if AB=θ, то P(A+B)=P(A)+P(B).

Г еометрическое определение вероятности: геометрической вероятность А называется отношение области, благоприятствующей появлению события А к мере области D. Пусть А={попадает точка в d}. P(A)=S_d/S_D

Вопрос 5. Теорема сложения вероятностей.

П усть А и В – произвольные события. Тогда вероятность появления хотя бы одного из них равна: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

A+B=A+(B-AB)

B=AB+(B-AB)

P(B)=P(AB)+P(B-AB)

Вероятность дождя =0.4. Вероятность ветра =0.7. Вероятность дождя и ветра =0.2. Найти вероятность того, что будет дождь или ветер. 0.4+0.7-0.2=0.9

Вопрос 6. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Условная вероятность (P(A/B)) события А при условии, что В произошло (P(B)>0) называется число условной вероятности, которая является P(A/B)=P(AB)/P(B).

Теорема умножения: пусть А и В – произвольные события. Тогда вероятность совместного события: Р(АВ)=Р(В)*Р(А/В)=Р(А)*Р(В/А).

Случайные события называются независимыми, если условная вероятность их появления равна безусловной вероятности. Следствие: если А и В независимые события, то вероятность их совместного появления равна безусловной вероятности.

Р(А/В)=Р(А); P(B/A)=P(B).

Следствие из теоремы: если А и В независимые события, то Р(АВ)=Р(А)*Р(В).

В опрос 7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

А – случ. Событие, которое появляется наряду с одним из событий.

Н₁, Н₂, Н₃, … Н_n – гипотезы. Свойства гипотез: 1) H_i*H_j=θ, j=1...n; i не равно j. 2) Н₁+ Н₂ + Н_{3 +} Н_n=Ω – достоверность событий.

Дано: P(H_i), i=1...n P(A/H_i), i=1...n

P(A)=Σ P(H_i)*P(A/H_i) = сумма произв. вероят. гипотезы на условную вероятность.

Доказательство: Ω= Н₁+ Н₂ + Н_{3 +} Н_n A=A(Н₁+ Н₂ + Н_3... Н_n) (A H_i)*(AH_j)= θ

A(H_i*H_j)=Aθ=θ – по условию. Найдем вероятность события А. P(A)=P(AH₁)+P(AH₂)+...+P(AH_n). Используя теорему умножения P(A)=P(H₁)*P(A/H₁)+P(H₂)*P(A/H₂)+...+P(H_n)*(P(A/H_n).

Формула Байеса, связывающая апостериорной и априорной вероятности. P(H_i/A)=P(H_i)*P(A/H_i)/Σ P(H_i)*P(A/H_i).

Вопрос 8. Биноминальная схема испытаний. Формула Бернулли.

Биноминальная схема – это последовательность испытаний, удовлетворяющая три условия: 1) в каждом испытании возможно лишь 2 исхода: А={успех} и B={неуспех}; 2) испытания являются независимыми, то есть вероятность «успеха» в каждом испытании не зависит от исхода в i-м испытании, при k>i; 3) вероятность успеха в каждом испытании постоянна P(A)=p P(не A)=1-p=q. Обозначим P_n(k) – вероятность того, что в испытаниях А появится k раз. Pn(k)=C^k_n*p^k*q^n-k – формула Бернулли. K=0,1,2...n.

Замечание: 1) вероятность появления успеха А в n испытаниях хотя бы 1 раз P_n(k≥1)=P_n(k=1)+P_n(k=2)+...+P_n(k=n)=1-p(=0)=1-qⁿ ; 2) вероятность появления А в n испытаниях от k₁ до k₂ раз P_n(k₁≤k≤k₂)=Σ P_n(k).