Вопрос 18: математическое ожидание случайной величины. Свойства мо

МО – сумма произ-ий всех возм-ых знач сл вел на их вер-ти: Е(X)=ni=1xipi (при n). Св-ва: 1. мо постоянной=самой пост-ной: Е(C)=C 2. пост множит-ль - за знак мо: Е(KX)=KE(X). Е(кX)= ni=1kxipi=kni=1xipi=KE(X). 3. мо суммы сл вел=сумме их мо: Е(X±Y)=Е(X)±Е(Y) 4. мо произв-ия незав сл вел=произв их мо: Е(XY)=Е(X)Е(Y) 5.если все знач сл вел Х изм на пост вел С, на неё изм её мо: E(X+C)=E(X)+C. (E(X+C)=E(X)+Е(C)=E(X)+C, чтд). 6.мо отклонения сл вел отт св мо=0: Е(Х-Е(Х))=0. (Е(Х-Е(Х))=Е(Х)-Е(Х)=0, чтд). +7. мо альтерн сл вел (описыв рез-ат единич исп-ия в сх Бернул)=вер-ти полож-го исхода: Е(X)=p 8. мо бином сл вел=произв числа исп-ий на вер-ть полож-го исхода: Е(X)=np 9. мо пуасс сл вел: =np (пуасс – предел-ой по отн к бином): Е(X)= 10. мо геом сл вел (число исп-ий по сх Берн до 1го пол исх) ↑↓ вер-ти пол исх: Е(X)=1/p.

Вопрос 19: дисперсия случайной величины. Свойства дисперсии

Дисп D(X)– мо квадрата отклон сл вел от своего мо: D(X)=Е(X-Е(X))2. D(X)=ni=1(xi-E(xi))2pi. Ср квалратич отклон сигма σ =√D(X). Св-ва: 1. дисп постоянной=0: D(C)=0. D(C)=E(C-E(C))2=E(C-C)2=E(0)2=0, чтд. 2.пост множ-ль - за знак D с возвед в ²: D(КX)2=К2D(X). D(KX)=E(KX-E(KX))2= E(K(X-E(X))2=K2X(X-E(X))2. 3.Дисп сл вел Х=разн-ти мо квадрата слвел Х и квадр её мо. D(X)=E(X2)-E2(X). D(X)=E(X-E(X))2=E(X2-2XE(X)+E2(X))=E(X2)-2E(X)E(X)+E2(X)=E(X2)-E2(X). 4.D суммы незав сл вел=сумме Dй: D(X±Y)=DX+DY. D(X-Y)=E((X-Y)-E(X-Y))2=E((X-E(X))-(Y-E(Y)2=E((X-E(X))2-2(X-E(X))(Y-E(Y))+(Y-E(Y)2=D(X)-2E(X-E(X))E(Y-E(Y))+D(Y). 5.D(XY)=ЕX2ЕY2-(ЕX)2(ЕY)2. +DX=pq (альтер); DX=npq (бином); DX= (пуас); DX=q/p2 (геом).

Вопрос 20: функция распределения вероятностей одномерной случайной величины. Свойства ф-ции распределения

X-сл вел. Рас. Х и {X<x}; P{X<x}. Функц распр сл вел Х - ф F(x), выраж для кажд х вер-ть того, что сл вел Х приметзнач<x. F(x)=P(X<x)

Св-ва ф дискр распр-ия: 1. 0≤F(x)≤1 2. F(x) - неубыв. Если x2>x1, то F(x2)≥F(x1). Док-во: A={x<x1}, B={x1≤x<x2}, А+В={x<x2}. P(A+B)=P(A)+P(B)-несовместн; P(x<x2)=P(x<x1)+Р(x1≤x<x2); если x2>x1, то F(x2)≥F(x1) чтд. 3. P(x1≤x<x2)=F(x2)-F(x1)-приращ ф на интерв. 4. F(-∞)=0, Р(-∞)=Р(х<-∞)=0 (невозм). F(+∞)=1, Р(+∞)=Р(х<+∞)=1 (достов).

Сл вел Х непрер, если ее F(x) непрер в любой тчк и диффер-на всюду, кроме области отдел точек. Теор: вер-ть люб отдел взятого знач непрер случ вел=0. Х - непр сл вел. P(x=x1)=limx2->x1P(x1≤x<x2)= limx2->x1 (F(x2)-F(x1))= limx2->x1F(x2)-F(x1)=F(x1)-F(x1)=0. Следствие:P(x1≤X<x2)=P(x1<X≤x2)=P(x1≤X≤x2)=P(x1<x<x2)=F(x2)-F(x1) (не важ, вкл или нет гран интерв).

Геом-ки ф распр интерпр-ся как вер-ть того, что сл тчк X попадет левее задан тчк x.

Вопрос 21: ф-ция плотности распр-ия вероятностей одномерной случайной величины, свойства ф-ции плотности. Геометрическая интерпретация

Ф-цией плотности распределения (f(x)) непрерывной случайной величины Х, наз. производная её ф-ции распределения.

[x, x+

P(x<X<x+ =F(x+ ---F(x)

Свойства:

1) , неотрицат. производная монотонной неубывающей ф-ции.

2) Р(а

a b

3)

F(x)=P(X<x)

4)

-достоверное событие

Вопрос 22: числовые хар-ки непрерывной случайной величины

Математическое ожидание Н.С.В. и его свойства.

Мат. ожидание Н.С.В. Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством: М(Х)=интеграл от –бесконечности до бесконечности хf(x)dx, где f(x) - плотность распределения С.В. Х. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу (а,b), то М(Х)=интеграл от ∫а b xf(x)dx. Все свойства мат. ожидания, указаны выше, для Д.С.В. Они сохраняются и для Н.С.В. 1) Мат. ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак мат. ожидания: М (СХ)=СМ (Х).

3) Мат. ожидание произведения взаимно независимых С.В. равно произведению мат. ожиданий сомножителей: М (Х1,Х2…Хn)=M(X1)*M(X2)…M(Xn).

4) Мат. ожидание суммы С.В. равно сумме мат. ожиданий слагаемых: М (Х1+Х2+Х3+…+Хn)=M(X1)+M(X2)+M(X3)+…+M(Xn).

Дисперсия Н.С.В. и ее свойства.

Дисперсия Н.С.В. Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством: D(X)=интеграл от –бесконечности до бесконечности [x-M(X)]*2f(x)dx, или равносильным равенством: D(X)=интеграл от –бесконечности до бесконечности x*2f(x)dx – [M(X)]*2. В частности, если все возможные значения х принадлежат интервалу (a,b),то D(X)=интервал от а до b [x – M(X)]*2f(x)dx,или D(X)=интеграл от a до b x*2f(x)dx – [M(X)]*2. Все свойства дисперсии Д.С.В. сохраняются и для Н.С.В. 1) Д. постоянной равна нулю: D(C)=0.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак Д., предварительно возведя его в квадрат: D (CX)=C*2D(X).

3) Д. суммы независимых С.В. равна сумме Д. слагаемых: D (X1+X2+…+Xn) =D(X1)+D(X2)+…+D(Xn).