Определение
Момент
импульса 
частицы
относительно некоторого начала отсчёта
определяетсявекторным
произведением её радиус-вектора и импульса:
г
де 
—
радиус-вектор частицы относительно
выбранного неподвижного в данной
системе отсчёта начала отсчёта,
—
импульс частицы.
Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов:
г
де 
—
радиус-вектор и импульс каждой частицы,
входящей в систему, момент импульса
которой определяется.
(В
пределе количество частиц может быть
бесконечным, например, в случае твердого
тела с непрерывно распределенной массой
или вообще распределенной
системы это
может быть записано как 
где 
-
импульс бесконечно малого точечного
элемента системы).
В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с.
Из определения момента импульса следует его аддитивность: как, для системы частиц в частности, так и для системы, состоящей из нескольких подсистем, выполняется:
.
Замечание: в принципе момент импульса может быть вычислен относительно любого начала отсчета (получившиеся при этом разные значения связаны очевидным образом); однако чаще всего (для удобства и определенности) его вычисляют относительно центра масс или закрепленной точки вращения твердого тела итп).
Вычисление момента
Так как момент импульса определяется векторным произведением, он является псевдовектором, перпендикулярным обоим векторам и . Однако, в случаях вращения вокруг неизменной оси, бывает удобно рассматривать не момент импульса как псевдовектор, а его проекцию на ось вращения как скаляр, знак которого зависит от направления вращения. Если выбрана такая ось, проходящая через начало отсчёта, для вычисления проекции углового момента на неё можно указать ряд рецептов в соответствии с общими правилами нахождения векторного произведения двух векторов.
где 
—
угол между
и
,
определяемый так, чтобы поворот от
к
производился
против часовой стрелки с точки зрения
наблюдателя, находящегося на положительной
части оси вращения. Направление поворота
важно при вычислении, так как определяет
знак искомой проекции.
Запишем
в
виде 
,
где 
—
составляющая радиус-вектора, параллельная вектору
импульса, а 
—
аналогично,перпендикулярная ему.
является,
по сути, расстоянием от оси вращения
до вектора
,
которое обычно называют «плечом».
Аналогично можно разделить вектор
импульса на две составляющие: параллельную
радиус-вектору 
и
перпендикулярную ему 
.
Теперь, используя линейность векторного
произведения, а также свойство, согласно
которому произведение параллельных
векторов равно нулю, можно получить
еще два выражения для 
.
Импульсом системы N материальных точек называется векторная сумма импульсов отдельных материальных точек образующих данную систему.
Момент силы относительно неподвижного начала и относительно неподвижной оси.
Моментом
силы
относительно произвольной точки О
(неподвижного начала) называется
векторное произведение радиуса-вектора
,
проведенного из этой точки к точке
приложения силы, на силу
:
(3)
Рис. 2
Момент
силы
перпендикулярен к плоскости, в которой
лежат радиус-вектор
и сила
,
и образует с ними правую тройку (при
наблюдении с конца вектора
видно, что вращение по кратчайшему пути
от
к
происходит против часовой стрелки
(рис. 2).
Модуль
вектора
согласно определению векторного
произведения равен
M
= r F sin
(
)
= r
F sin
α = F
l
, (4)
где l = r sin α – длина перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую, вдоль которой действует сила, называется плечом силы (рис. 2).
Момент силы относительно оси
Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.
,
где L — момент импульса. Момент импульса твердого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости.
,
То есть если I постоянная, то
,
где α — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду.
Уравнение моментов для частицы и системы частиц.
Полученное соотношение называется уравнением моментов для материальной точки: скорость изменения момента импульса материальной точки относительно неподвижной точки равна моменту действующих сил относительно той же точки. Оно справедливо при любом движении материальной точки (в том числе неременной массы) но произвольной траектории. Уравнение моментов можно обобщить на случай произвольной системы материальных точек.
Моментом импульса системы материальных точек относительно некоторой точки О (или оси OZ) называют сумму моментов импульсов всех материальных точек относительно той же точки (оси)
Запишем уравнения моментов (6.26) для всех точек системы и сложим их. При этом на внутренние силы внимания можно не обращать, поскольку, как уже отмечаюсь, их суммарный момент относительно любой точки равен нулю. Мы снова придем к уравнению моментов, но уже для системы материальных точек
Закон сохранения момента импульса для системы частиц.