4.Эллипс. Вывод канонического уравнения эллипса.

Ответ:

Эллипс-геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

причем

Окружность является частным случаем эллипса.

Вывод канонического уравнения.

. - характеристическое уравнение эллипса .

Запишем характеристическое уравнение эллипса в координатной форме:

Преобразуем равенство.

Перенесем в левую часть равенства выражение, содержащее корень:

Так как ,то пусть => каноническое уравнение эллипса примет вид:

5. Гипербола. Вывод канонического уравнения гиперболы.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина постоянная.

Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению

гиперболы |MF1 – MF2|=2a или MF1 – MF2

=±2a,

Вывод уравнения.

6. Парабола. Вывод канонического уравнения параболы.

Ответ:

Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково

удалена от фокуса, и директрисы. Расстояние между фокусом и директрисой

называется параметром параболы и обозначается через р>0.

Пусть M(x;y) – произвольная

точка M с F. Проведем отрезок

MN перпендикулярно

директрисе. Согласно

определению MF=MN.

Вывод уравнения.

7.Направленные отрезки , понятие модуля. Сложение направленных отрезков по правилам треугольника , параллелограмма. Векторное пространство.

Ответ:

Направленные отрезки. Упорядоченная пара точек (А,В) называется направленным отрезком с началом в точке А и концом в точке В. Обозначается:

Направленный отрезок изображается стрелкой, идущей из его начала в его конец (рис.1).

Направленный отрезок называют также связанным вектором, а точку А - точкой его приложения .Если точки А и В различны, то направленный отрезок называется ненулевым. если же точки А и В совпадают, то направленный отрезок , точнее называется нулевым и обозначается символом θA.

Длиной направленного отрезка называется длина отрезка [АВ].

Направленные отрезки равны тогда и только тогда, когда они имеют:

1) Одинаковую длину:

2) одинаковое направление:

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой.

Векторы называются компланарными, если они находятся в одной плоскости.

Длиной или модулем вектора называется длина соответствующего направленного отрезка.

Модуль вектора a обозначается . Вектор a называется единичным, если

Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

cos (квадрат) альфа+ cos (квадрат)бета+ cos (квадрат)гамма=1

Сложение векторов.

Правило параллелограмма.

Правилом параллелограмма сложения векторов называется следующий способ:

Пусть есть векторы AB и AC у которых начало вектора совпадает, а концы не совпадают

Достроим данный угол до параллелограмма, так что AC = BD и AB = CD.

Тогда AB + BD = AD, а так как BD = AC, то AB + AC = AD

Правило треугольника.

Правилом треугольника сложения векторов называется следующий способ:

Пусть есть произвольные векторы a и b. Надо от конца вектора a отложить вектор b`, равный вектору b. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец совпадет с концом вектора b`, будет суммой a + b.

Векторное пространство.

Векторное (линейное) пространство — это математическая структура, которая формируется набором элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр. Введённые операции подчинены восьми аксиомам.[⇨] Скаляром же может являться элемент вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем векторов подобного пространства являются обычные евклидовы вектора, которые используются, к примеру, для демонстрации физических сил. При этом следует отметить, что вектор как элемент векторного пространства не обязательно должен быть представлен в качестве направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы