Билет №2

4) Розглядаємо 1 квадрант (адже х1 та х2>0)

Нанесемо обмеження на координатну площину, обмежена область зоображена зафарбованою червоним кольором

Опускаємо цільову ф-цію (вектор руху перпендикулярний прямій У(х)=х/2) так, щоб вона ще перетиналася з областю, яку визначили наші обмеження, вона буде перетинатися в точці, створеній перетинами 2 прямих:

х-1=-х+2; 2х=3

Розв‘язком є точка з координатами

х1=1,5; х2=0,5 значення цільової ф-ції в цій точці 0,5.

5) Z=-2x1^2+3x2^2+4x1+5

Похідна по х1: -4х1+4

по х2:6х2

П рирівнюємо до 0, отримуємо систему

-4х1+4=0, х1=1,

6х2=0; звідси х2=0;

Перевіримо отриману точку.

Нехай A = Zxx(x1,x2); B = Zxy(x1,x2); C = Zyy(x1,x2); D = AC – B^2 .

A=-4, B=0, C=6, D=-24. Оскільки D<0, то знайдена точка не э точкою екстремуму. Отже ф-ція не має екстремумів.

Билет № 4

4) Замінимо знаки нерівностей на знаки строгих рівностей і побудуємо графіки відповідних прямих (рис.1.1.).

Побудуємо вектор , . .

Із рис.1.1 видно, що крайніми спільними точками прямої цільової функції та трикутника ABC є точки A та С. Координати даних точок є оптимальними планами задачі.

Координати точки A є розв’язком системи рівнянь:

(1.1)

(1.2)

звідси маємо: .

Отже,

Координати точки С є розв’язком системи рівнянь:

(1.1)

(1.2)

звідси маємо: . Отже,

₂₎

Знайдемо перші похідні та прирівняємо їх до нуля:

Розв’язавши систему, маємо:

Для того, щоб перевірити чи є дана точка екстремумом та визначити тип екстремуму використаємо перевірку достатньої умови:

Тоді, якщо D < 0, то в точці (x0,y0) екстремума немає. Якщо D > 0, то в точці (x0,y0) екстремум функції z, причому якщо A > 0, то мінімум, а якщо A < 0, то максимум. Якщо D = 0, то екстремум може бути, а може і не бути. В даному випадку потрібні додаткові дослідження.

В нашому випадку

Отже маємо точку мінімуму.

Билет №5

4) Замінимо знаки нерівностей на знаки строгих рівностей і побудуємо графіки відповідних прямих (рис.1.1.).

Побудуємо вектор , . .

Із рис.1.1 видно, що ОДЗ є не замкнутою і ЦФ має лише один екстремум (min).

Координати точки B є розв’язком системи рівнянь:

(1.1)

(1.2)

звідси маємо: .

Отже,

5) Визначити точку та характер умовного екстремуму функції за методом множників Лагранжа.

,

(5.1)

Розв’язання

Маємо задачу лінійного програмування:

(5.2)

при обмеженні

(5.3)

Для знаходження розв’язку даної задачі спочатку слід замінити нашу цільову функцію більш складнішою – функцією Лагранжа.

(5.4)

(5.5)

де – множник Лагранжа.

Визначимо частинні похідні , , побудованої функції Лагранжа:

(5.6)

Далі прирівняємо знайдені частинні похідні до нуля:

(5.7)

(5.8)

(5.8)

(5.8)

Наступним кроком є побудова матриці Гессе, що має блочну структуру розмірністю

(5.9)

де О – матриця розмірністю , що складається з нульових елементів;

Р – матриця розмірністю , елементи якої визначаються наступним чином:

, (5.10)

– транспонована матриця до Р розмірністю ,

Q – матриця розмірністю виду:

, де . (5.11)

У нашому випадку матриця Гессе матиме наступний вигляд:

(5.19)

Визначаємо головні мінори матриці Гессе, починаючи з 2-го порядку:

(5.19)

(5.20)

Як бачимо, головні мінори утворюють знакоcталий ряд, тобто наша точка є точкою мінімуму.

Обчислимо значення цільової функції у знайденій точці: