27. Определение непрерывной функции по Гейне и по Коши. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Функция называется непрерывной в точке , если в этой точке существует предел функции и этот предел равен

Пользуясь определением предела функции по Гейне и по Коши, приведём следующие два определения непрерывной в точке функции.

(Определение непрерывной функции по Гейне) Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности значений аргумента , сходящейся к , последовательность сходится к .

(Определение непрерывной функции по Коши) Функция называется непрерывной в точке , если для любого положительного существует такое положительное число , что как только , справедливо неравенство .

Арифметические операции над непрерывными функциями.

Теорема 5.1. Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции

и , также непрерывны в точке .

Доказательство. Т.к. функции и непрерывны в точке , то ,

. Тогда ,

, . Следовательно, функции

и непрерывны в точке . Теорема доказана.

Примеры непрерывных функций. Непрерывность рациональных функций.

Рассмотрим постоянную функцию, принимающую в каждой точке числовой прямой одно и тоже значение . Т.к. , то функция непрерывна в каждой точке числовой прямой .

Функция является непрерывной в каждой точке числовой прямой, так как,

Из непрерывности функции и теоремы 5.1 следует непрерывность функций , , в любой точке числовой прямой.

Функция где – любые числа, а . называется алгебраическим многочленом или полиномом.

Функция вида , где и алгебраические многочлены, называется дробно-рациональной функцией.

Непосредственно из теоремы 5.1 следует, что любой алгебраический многочлен является непрерывной, в каждой точке числовой прямой, функцией, а любая дробно рациональная функция непрерывна во всех точках , в которых знаменатель дробно-рациональной функции не обращается в нуль.

Например, функция непрерывна во всех точках, за исключением тех точек, где , т.е. .

Непрерывнрсть тригонометрических функций.

Покажем, что функция непрерывна в каждой точке .

Докажем, что . Действительно, обозначим . Очевидно, что при . Тогда . . Т.е., - бесконечно малая функция при . Тогда, предел (1) равен нулю, как предел произведения ограниченной функции на бесконечно малую функцию . Следовательно, , т.е. . Непрерывность функции доказана.

Непрерывность функции доказывается аналогично. Из непрерывности функций и следует непрерывность функции и во всех точках, где , т.е. во всех точках, кроме и функций и во всех точках, кроме

Непрерывность функции .Рассмотрим функцию . Эта функция определена и непрерывна во всех точках числовой прямой. Действительно, в точках интервала она непрерывна, так как при . В точках интервала функция также непрерывна, так как при , эта функция непрерывна как произведение двух непрерывных функций и . Установим теперь непрерывность функции в точке . Для этого вычислим односторонние пределы в точке .

Итак, пределы функции в точке слева и справа существуют и эти пределы равны, тогда по теореме 4.1 существует и этот предел равен нулю. Следовательно, предел функции в точке равен значению функции в этой точке , что означает непрерывность функции в точке .

Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Замечание. В приведенном определении интервал может быть как конечным, так и бесконечным интервалом, т.е. может иметь вид , , .

Функция называется непрерывной на сегменте , если она непрерывна в каждой точке и непрерывна в точке справа и в точке слева, т.е.

Классификация точек разрыва.

Точка называется точкой разрыва функции , если функция в точке не является непрерывной. Согласно определению непрерывной функции и теореме 4.1, функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

Функция определена в некоторой окрестности точки .

Существуют конечные пределы в точке справа и слева .

Односторонние пределы равны. Односторонние пределы равны .

Очевидно, точка будет точкой разрыва функции тогда и только тогда, когда нарушено хотя бы одно из перечисленных условий.

В зависимости от того, какое из указанных условий нарушено, различают следующие виды точек разрыва.

Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если в точке существуют равные односторонние пределы, но эти пределы не равны значению функции в точке , т.е.

Если функция имеет устранимый разрыв в точке , то для устранения этого разрыва достаточно изменить значение функции только в одной точке , положив его равным односторонним пределам в точке .

Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют не равные конечные односторонние пределы, т.е.

Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из двух односторонних пределов функции в этой точке, либо не существует, либо является бесконечным.