§7. Импульс материальной тоски. Другая формулировка 2-го закона Ньютона.

Определение 7. Импульсом   материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы материальной точки на её скорость: 

Видим, что векторы импульса и скорости коллинеарные и сонаправленные. Единицей измерения импульса в системе СИ служит   (для этой единицы нет специального названия).

Пример 12. Камень массой   брошен вертикально вверх с начальной скоростью   .  Укажите все правильные утверждения.

1. Импульс камня в момент бросания равен по модулю   и направлен вертикально вверх.

2. Импульс камня при движении вверх увеличивается.

3. Импульс камня при движении вверх уменьшается.

ОТВЕТ. Верно утверждение 1) и 3).

Действительно, произведение массы тела на модуль его скорости даёт   , а направление импульса совпадает с направлением скорости. Далее, с изменением скорости камня изменяется и его импульс. При движении вверх направление скорости остаётся неизменным, а модуль скорости уменьшается. Следовательно, и импульс камня, сохраняя своё направление, уменьшается по модулю.

Если масса   тела остаётся постоянной, а его скорость   изменяется, то приращение   импульса тела равно:  . Используя определение ускорения тела и учитывая выражение (1), можно заключить, что в течение некоторого малого (!) промежутка времени   справедливо равенство или:  (2)

Определение 8. Векторная величина  , численно равная произведению силы   на время её действия  , называется импульсом силы.

Импульс силы мы будем обозначать через  .

В системе СИ импульс силы измеряется в   или, что то же, в  .

Приращение импульса тела – это вектор, направление которого совпадает с направлением силы  , действующей на тело и вызывающей изменение его скорости (т.е. ускорение). Таким образом, в инерциальных системах отсчёта можно сформулировать 2-й закон Ньютона в виде (2): приращение импульса тела прямо пропорционально импульсу силы   и происходит по направлению силы  .

Если равнодействующая сила   постоянна (не изменяется во времени), то из (2) можно непосредственно найти приращение импульса тела за любой, уже не обязательно малый (!), промежуток времени  : 

Пример 13. На две материальные точки массами   и  ,движущиеся во взаимно перпендикулярных направлениях со скоростями   и   соответственно (рис.12а), в течение некоторого одинакового промежутка времени действуют одинаковые по модулю и направлению силы. В момент прекращения действия сил первая точка движется в обратном направлении с той же скоростью  (как показано пунктиром на рис.12б). Определите модуль и направление скорости второй  материальной точки (массой  ) в этот момент времени.

РЕШЕНИЕ. Импульсы сил, действующих на материальные точки, одинаковы. Следовательно, одинаковы и приращения импульсов точек. Модуль приращения импульса первой из них равен  . Вектор   направлен горизонтально (рис.12б). Конечный импульс второй материальной точки равен сумме еёначального импульса и вектора  (рис.12б). Модуль конечного импульса найдём по теореме Пифагора:  , а скорость материальной точки равна  . Направление вектора скорости составляет угол   с направлением начального импульса этой материальной точки, причём  .

В случае, когда сила   постоянная, график зависимости модуля   от времени имеет вид прямой, параллельной оси абсцисс (рис.13а), а модуль импульса силы за произвольный промежуток времени   численно равен площади прямоугольника, заштрихованного на рисунке. Этому же раве н и модуль приращения импульса тела.

Если же равнодействующая сила   изменяется по модулю с течением времени, то график зависимости   может иметь произвольную форму, соответствующую конкретным условиям. Однако и в общем случае модуль импульса такой силы (а, значит, и модуль приращения импульса тела) за произвольный промежуток времени   численно равен площади под графиком  (рис.13б).

Пример 14. Тело движется под действием постоянной силы   Чему равно приращение импульса тела за 1 мин действия этой силы?

РЕШЕНИЕ. Сила постоянная. График зависимости   имеет вид, как на рис.13а, где надо положить  . Модуль импульса силы численно равен площади под графиком 

Тому же равен модуль   приращения импульса тела. Направление вектора   совпадает с направлением силы  .

Пример 15. Тело массы   движется прямолинейно со скоростью  . В момент времени   на него начинает действовать тормозящая сила  , направленная в противоположную сторону, модуль которой увеличивается со временем по линейному закону (рис.14). Через какое время   скорость тела уменьшится до  ?

РЕШЕНИЕ. Модуль приращения импульса тела равен  . Направление вектора   противоположно направлению начального импульса тела. Модуль импульса силы тоже должен быть равен  . С другой стороны он равен площади под графиком на промежутке времени от   до  (рис.14). По условию зависимость модуля тормозящей силы от времени имеет вид  , где   - тангенс угла наклона графика к оси абсцисс. Площадь прямоугольного треугольника со сторонами   и   равна  . Таким образом  Откуда находим  .

В рамках школьной программы площадь под графиком   на рис.13б подсчитать порой довольно сложно. Тогда часто вводят понятие средней (по модулю) силы.

Пример 16. Футболист бьёт по мячу массой  , лежащему на поверхности земли. После удара мяч улетает со скоростью  . Длительность удара  . Чему равна средняя сила удара футболиста по мячу? Действием других сил за время удара пренебречь.

РЕШЕНИЕ. Качественная зависимость модуля силы, действующей на мяч при ударе, от времени показана на рис.15. Однако практически никогда конкретный аналитический вид такой зависимости неизвестен.

Заменим реальную силу   средней постоянной во времени силой   так, чтобы её импульс за промежуток времени   был равен импульсу реальной силы за то же время. Графически это выражается в том, что площадь под графиками зависимостей реальной силы   и силы   на отрезке времени   одинаковы и равны  .

Поскольку первоначально мяч покоился, его начальный импульс равен нулю. После удара мяч приобретает импульс   и, следовательно, приращение импульса мяча за время удара равно  . Для модулей приращения импульса мяча и импульса силы имеем:  (по условию действием других сил за время   пренебрегаем). Отсюда искомая средняя (по времени) сила удара по мячу равна:  .

В начало