1.Операция сложения матриц.
Операция сложения определена ТОЛЬКО ДЛЯ МАТРИЦ ОДНОГО ПОРЯДКА. Другими словами, нельзя найти сумму матриц разной размерности и вообще нельзя говорить о сложении матриц разной размерности. Также нельзя говорить о сумме матрицы и числа или о сумме матрицы и какого-нибудь другого элемента.
Таким образом, результатом сложения двух матриц является матрица того же порядка
Свойства операции сложения матриц.
Для матриц А, В и С одного порядка характерно свойство ассоциативности сложения А + (В + С) = (А + В) + С.
Для матриц данного порядка существует нейтральный элемент по сложению, которым является нулевая матрица. То есть, справедливо свойство А + О = А.
Для ненулевой матрицы А данного порядка существует матрица ( – А ), их суммой является нулевая матрица: А + ( - А ) = О.
Для матриц А и В данного порядка справедливо свойство коммутативности сложения А + В = В + А.
2. Операция вычитания матриц аналогично операции сложению матриц
3.Операция умножения двух матриц.
Операция умножения двух матриц А и В определена, когда ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ А РАВНО ЧИСЛУ СТРОК МАТРИЦЫ В.
Если
матрицы А, В и С подходящих порядков, то
справедливы следующие свойства операции
умножения матриц.
4. Умножения матрицы на число.
5. Операция деления у матриц отсутствует .
6. Операция транспонирования.
Транспонированием матрицы называется замена строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номера.
Полученная матрица обозначается АT
5. Определитель квадратной матрицы . Минор k-порядка матрицы. Ранг матрицы. Ответ:
Определитель
(число) квадратной матрицы порядка
n
обозначается
символами:
Минором- k порядка матрицы называется определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении каких – либо строк и столбцов.
Пример:
Предположим,
надо найти дополнительный минор . Этот
минор — определитель матрицы, получающейся
путем вычеркивания строки 2 и столбца
3:
Получаем
Ранг матрицы и его вычисление.
Рангом
матрицы A-называется
наибольший порядок минора этой матрицы,
отличного от нуля. Всякий отличный от
нуля минор, порядок которого равен рангу
этой матрицы, называется базисным
минором. Ранг матрицы будем обозначать
через
Пример: определить ранг матрицы.
Поменять местами первую и вторую строки
Ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-3), и к первой прибавим третью, умноженную на (-1):
Вычтем из третьей строки вторую:
Ранг последней матрицы равен 2, т.к.
6. Понятие базисного минора. Элементарные преобразования матрицы.
Определение. В матрице порядка mxn минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.
Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.
В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.
Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.
Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.
Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.
Надо отметить, что равные матрицы и эквивалентные матрицы - понятия совершенно различные.
Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.
Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.
Пример. Определить ранг матрицы.
=
=
Rg
= 2
Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.