Р ис. 2. Размерная цепь детали р ис. 3. Размерная цепь узла

Рис. 4. Плоскостная размерная цепь

В табл. 2 показана классификация размерных цепей.

Таблица 2

Виды размерных цепей

Цепь	Определение
Технологическая	Размерная цепь, обеспечивающая требуемое расстояние или относительный поворот между поверхностями изготавливаемого изделия при выполнении операции или ряда операций сборки, обработки, при настройке станка или при расчете межпереходных размеров
Конструкторская	Размерная цепь, определяющая расстояние или относительный поворот между поверхностями или осями поверхностей деталей в изделии
Измерительная	Размерная цепь, возникающая при определении расстояния или относительного поворота между поверхностями, их осями или образующими поверхностями изготовляемого или изготовленного изделия
Линейная	Размерная цепь, звеньями которой являются линейные размеры
Угловая	Размерная цепь, звеньями которой являются угловые размеры
Плоская	Размерная цепь, звенья которой расположены в одной или нескольких параллельных плоскостях
Пространственная	Размерная цепь, звенья которой расположены в непараллельных плоскостях

Увеличивающими называются составляющие размеры, при увеличении которых замыкающий размер увеличивается.

Уменьшающими называются составляющие размеры, при увеличении которых замыкающий размер уменьшается.

Например, достаточно добавить некоторую малую величину к размеру (см. рис. 4), при постоянстве остальных размеров цепи (здесь это только ), чтобы F∆ уменьшился. Если же, оставив неизменным , добавить , то замыкающий F∆ увеличится.

Учитывая разделение размеров на увеличивающие и уменьшающие не трудно записать уравнение размерной цепи в номиналах

А_Δ = A_{i ув} – A_{i ум} (1)

где в размерной цепи:

m - количество увеличивающих размеров,( A_{i ув}),

p - количество уменьшающих размеров (A_{i ум} ).

Всего номинальных размеров составляющих звеньев, с учётом замыкающего, будет: n=m+ p+1

Предельные значения размеров замыкающего звена определяются по уравнениям, логически вытекающим из выражения (1) и определений увеличивающих и уменьшающих размеров:

= – (2)

= – (3)

где: , - наибольший и наименьший предельные размеры замыкающего звена;

, , , - наибольшие и наименьшие предельные размеры звеньев.

Допуск замыкающего размера вычисляется как разность наибольшего (2) и наименьшего (3) значений замыкающего, т. е. достаточно сложить два последних уравнения и получим

TA_Δ = TA_i (4)

где: TA_Δ -допуск замыкающего размера;

TA_i - допуск составляющего размера;

n–1 - количество составляющих звеньев размерной цепи, без замыкающего.

В общем случае для размеров размерной цепи A справедливо соотношение:

TA_Δ = │ │ TA_i (5)

где: =  передаточное отношение, n – число звеньев цепи.

Если же проводится анализ цепей с параллельными звеньями, то:

для увеличивающих размеров =+1,

для уменьшающих размеров =-1.

Параметр наиболее необходим при формализации решения задач, например при программировании.

Предельные значения составляющих размеров и замыкающего звена в случае, если размеры заданы номинальными значениями и отклонениями, определяются по формулам:

= А_i + ES_i

= А_i + EI_i

= А_Δ + ES_Δ (6)

= А_Δ + EI_Δ, (7)

где: А_i , А_Δ - номинальное значения составляющих и замыкающего размера,

ES_i, EI_i, ES_Δ, EI_Δ - верхнее и нижнее отклонения составляющих и замыкающего размера.

Воспользуемся уравнением

= –

Запишем его с учётом рассмотренных выше определений предельных значений

А_Δ + ES_Δ = (А_iув + ES_iув)– (А_iум + EI_iум)

Подставим в левой части уравнения

А_Δ = A_{i ув} – A_{i ум}

Верхнее и нижнее отклонения замыкающего размера в этом случае определяются по уравнениям размерной цепи в отклонениях:

ES_Δ = ES_{i ув} – EI_{i ум} (8)

EI_Δ = EI_{i ув} – ES_{i ум}, (9)

где: ES_{i ув} , EI_{i ув} , ES_{i ум} , EI_{i ум} - верхнее и нижнее отклонения увеличивающих и уменьшающих составляющих звеньев размерной цепи.

При решении ряда задач по размерному анализу верхнее и нижнее отклонения замыкающего размера удобнее определять по формулам через координату середины поля допуска:

ES_Δ = Δ₀ А_Δ + (10)

EI_Δ = Δ₀ А_Δ – , (11)

где: Δ₀А_Δ - TА_Δ - допуск на замыкающее звено, определяемый по формуле (5).

Координата середины поля допуска замыкающего звена, определяется по уравнению середин полей допусков размерной цепи:

Δ₀ А_Δ = Δ₀ А_{i ув} – Δ₀ А_{i ум}, (12)

где: Δ₀ А_{i ув} , Δ₀ А_{i ум} - координаты середины поля допуска составляющих звеньев размерной цепи, определяемые по зависимости:

Δ₀ А_i = (ES_i + EI_i)/2

С учётом выражений(11) и (12), верхнее и нижнее отклонения замыкающего размера определяются по формулам:

ES_Δ = ( Δ₀ А_{i ув} – Δ₀ А_{i ум}) + (13)

EI_Δ = ( Δ₀ А_{i ув} – Δ₀ А_{i ум}) – (14)

Известно, что величина допуска каждого составляющего размера определяется по формуле:

TA_i = a _i ∙ i_i,

где: a - коэффициент точности; i_i = 0.45 + 0.001A_{i ср} - единица допуска.

Но следует полагать, что все составляющие звенья цепи одного уровня точности, что позволяет записать:

a ₁ = a ₂ = a ₃ = a ₄ =…= a _n-1 = a = const

Тогда:

TA_i = a (0.45 + 0.001A_{i ср}),

A_{i ср} - средний размер интервала размеров.

Учитывая уравнение (5) ТА_Δ = TA_i,

Или

ТА_Δ = a ∙ i₁ + a ∙ i₂ + … a ∙ i_n-1= a∙

теперь можно записать:

Если же изначально в размерной цепи некоторые размеры были с заданными допусками (например, размеры подшипников и т.д.), то уравнение (5) примет вид:

.

Здесь к – число размеров с заданными допусками. Теперь окончательно уравнение для коэффициента точности будет:

(15)

Определив коэффициент точности, можно вычислить допуски как TA_i = а·i_i, но рациональнее по таблице допусков выбирать допуски по ближайшему квалитету. В случае одинаковых размеров составляющих звеньев или же размеров находящихся в стандартном интервале размеров, где «i» неизменно для интервала, формула упрощается

или TА_i = ТА∆/(n-1) (16)

Как видно получен единый допуск для всех размеров. Способ этот прост, но по сути ориентировочный и поэтому применяется, в основном, лишь для предварительного назначения допусков составляющих размеров.

Допуски для размеров назначают, как для основного вала и основного отверстия, т.е. для увеличивающих в «+» а уменьшающих в «-», за исключением увязочного. Для увязочного размера положение допуска определяется по одному из уравнений, связывающих параметры замыкающего размера и составляющих, при назначенных параметров остальных.

Приведённые зависимости справедливы для метода полной взаимозаменяемости (МПВ), где предполагается равновероятное распределение получаемых размеров. Иначе говоря, при стрельбе в круглую мишень с прицеливанием в середину мишени, вероятность попадания в «1» и в «10» одинакова, что не совсем верно.