Векторное произведение в декартовой системе координат

Пусть , найдем их векторное произведение.

.

Приложения векторного произведения

1. Вычисление площадей.

Если на векторах и построен параллелограмм, то его площадь можно вычислить по формуле:

.

Если на векторах и построен треугольник, то его площадь можно вычислить по формуле:

.

На плоскости векторное произведение не определено, а площадь параллелограмма вычисляется следующим образом:

.

Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Решение. Воспользуемся формулой. Для этого сначала вычислим векторное произведение данных векторов

, тогда

.

Лекция 6

8. Смешанное произведение векторов: определение, свойства, вычисление

Пусть даны три вектора .

Определение 1. Смешанным произведением данных векторов называется число

.

Геометрический смысл смешанного произведения.

Пусть векторы некомпланарные и образуют правую тройку. Найдем объем параллелепи-

педа, построенного на этих векторах. Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, то есть , , тогда

.

Если вектор будет направлен в противоположную сто-

рону, - левая тройка и , следовательно,

, то есть

Объем параллелепипеда, построенного на векторах, равен их смешанному произведению, взятому

со знаком плюс, если тройка – правая и со знаком минус, если тройка векторов – левая.

Свойства

1). Если в смешанном произведении поменять местами какие-то два множителя, то смешанное произведение изменит знак, то есть

.

2). Если в смешанном произведении сделать циклическую перестановку множителей, то произведение не изменится, то есть

.

3). Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю.

Доказательство. 1) Пусть векторы компланарны, возможны следующие случаи:

а) один из векторов нулевой, например, , у него любое направление, поэтому он лежит в

плоскости двух других векторов(значит векторы компланарны), тогда

;

б) какие-то два вектора коллинеарны, например, , тогда вектор будет параллелен плос-

кости, построенной на векторах и ( по признаку параллельности прямой и плоскости), то

есть векторы компланарны, тогда .

в) все векторы ненулевые и нет коллинеарных векторов, тогда

, то есть вектор перпендикулярен плоскости векторов и , а в этой плоскости лежит и вектор , следовательно, , тогда (свойство скалярного произведения).

2) Пусть , векторы ненулевые и нет коллинеарных векторов, отсюда следует, что

, а по определению, то есть векторы компланарны.

Смешанное произведение в декартовой системе координат

Пусть даны векторы

или

.

Приложения смешанного произведения.

1). Вычисление объемов:

Пусть на векторах построен параллелепипед, тогда его объем вычисляется по формуле

Пусть на векторах построена треугольная пирамида, тогда ее объем вычисляется по формуле

2). Тройка векторов правая ( левая) тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов положительное ( отрицательное).

3). - это условие компланарности векторов .

Пример. Даны точки . Проверить, лежат ли эти точки в одной плоскости.

Решение. Найдем векторы . Проверим, являются ли эти векторы компланарными, воспользуемся условием компланарности

,

следовательно, векторы не компланарны, а это значит, что точки не лежат в одной плоскости.