Билет 3

Полярная система координат

Полярной системой координат называют точку O (полюс) и луч Ox (полярная ось), выходящий из этой точки с масштабной единицей.

Полярными координатами точки M называют пару чисел  и , где  - расстояние от M до полюса,  - угол между радиус-векторами OM и Ox, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки ( , ).

Связь между декартовыми и полярными координатами: , .

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой ), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

Точка даётся как . В терминах прямоугольной системы координат:

•  — расстояние от до , ортогональной проекции точки на плоскость . Или то же самое, что расстояние от до оси .

•  — угол между осью и отрезком .

• равна аппликате точки .

При использовании в физических науках и технике международный стандарт ISO 31-11 рекомендует использовать обозначения .

Некоторые математики используют .

Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось взять в качестве оси симметрии. Например, бесконечно длинный круглый цилиндр в прямоугольных координатах имеет уравнение , а в цилиндрических — очень простое уравнение . Отсюда и идёт для данной системы координат имя «цилиндрическая».

Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях посредством задания трёх координат , где  — расстояние до начала координат, а и  — зенитный и азимутальный угол соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Вообще зенит — это направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей так называемой фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Применительно к нашему рисунку сферической системы координат, фундаментальная плоскость — это плоскость xy. Зенит — некая удалённая точка, лежащая на оси Z и видимая из начала координат. Азимут отсчитывается от оси X до проекции радиус-вектора r на плоскость xy. Это объясняет названия углов, как и то, что сферическая система координат может служить обобщением (пусть хотя бы и приближённым) множества видов систем небесных координат.

О пределения Три координаты определены как:

•  — расстояние от начала координат до заданной точки .

•  — угол между осью и отрезком, соединяющим начало координат и точку .

•  — угол между осью и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой , на плоскость (в Америке углы и меняются ролями^{[источник не указан 292 дня]}).

Угол называется зенитным, или полярным, или нормальным, а также он может быть назван английским словом colatitude, а угол  — азимутальным. Углы и не имеют значения при , а не имеет значения при (то есть при или ).

Зависимо или независимо от стандарта (ISO 31-11), существует и такое соглашение или конвенция (англ. convention), когда вместо зенитного угла , используется угол между проекцией радиус-вектора точки r на плоскость xy и самим радиус-вектором r, равный  — . Он называется углом подъёма и может быть обозначен той же буквой . В этом случае он будет изменяться в пределах .

Тогда углы и не имеют значения при , так же как и в первом случае, а не имеет значения при , (уже при или ).

Билет 5

Векторная алгебра

Основные понятия:

Вектором называют отрезок прямой, если указано, какая из его граничных точек является началом, а какая – концом.

, если начало совпадает с концом.

Коллинеарными называют векторы, лежащие на параллельных прямых. Компланарными – лежащие на одной или параллельных плоскостях. Равными называют векторы сонаправленные и имеющие одинаковую длину. Противоположные – противоположно направленные и имеющие одинаковую длину. Ортом называют единичный вектор, сонаправленный с .

Угол между векторами: cosw= ab/|a|*|b| в координатах же :

cosw= ( x1x2+y1y2+z1z2)/(sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)+sqrt(x2^2+y2^2+z2^2))

Билет 6

Линейные операции над векторами:

1. Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или параллелограмма.

2. Умножение вектора на число.

Произведением вектора на число  называют вектор такой, что ­ и , если и , если . Если , то . У произвольное направление.

Линейной комбинацией векторов называют сумму произведений этих векторов на произвольные числа: .

Если является линейной комбинацией векторов , т.е. , то говорят, что разложен по векторам , а - разложение

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов: Для того чтобы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы .

1. Пусть . Тогда, по определению произведения вектора на число, .

2. Пусть . Тогда можно взять и , если и , если ­ . Очевидно, что  существует.

Любой вектор на плоскости может быть единственным образом по двум неколлинеарным векторам.

Из рисунка видно, что такое разложение существует. Докажем единственность. Действительно, , , следовательно

Пусть также , где . Вычтем из первого уравнения второе. Получим: . Т.к. , то , т.е. , что противоречит условию.

Билет 7

Любой вектор в пространстве может быть единственным образом разложен по трём некомпланарным векторам. Доказывается аналогично.

Совокупность векторов, обладающих двумя свойствами: любой вектор может быть выражен через эти вектора и это выражение будет единственным, называется базисом. Таким образом, базис образуют любые два неколлинеарных вектора на плоскости и любые три некомпланарных в пространстве.

Пусть - базис в пространстве и вектор . Тогда числа ,  и  называют координатами вектора в базисе .

Базис образует аффинную систему координат.

Углом между векторами называют наименьший из углов, на который надо повернуть один вектор до совмещения с другим по приведения из к общему началу. Обозначение: .

Орт оси – единичный вектор, сонаправленный с осью.

Углом между вектором и осью называют угол между вектором и ортом оси.

- геометрическая проекция на ось l.

- скалярная проекция на ось l.

Свойства проекции вектора на ось:

1. .

2. .

3. .

Координаты вектора в прямоугольной декартовой системе координат

ДСК – частный случай аффинной системы координат.

Разложим по базису ­ , который образует декартову систему координат и центр которого совпадает с началом вектора : . Здесь x, y и z – координаты вектора в базисе. Тогда , , .

Направляющие косинусы вектора в прямоугольной декартовой системе координат

Пусть ,  и  - углы, которые образует с осями ДСК (Ox, Oy и Oz). Тогда , и называют направляющими косинусами . Пусть x, y и z – координаты вектора в ДСК. Тогда , , , , , , .

Если даны две точки М1 и М2 , являющиеся соответственно началом и концом вектора а, то его коорлинаты X Y Z вычисляются по вормулам X=x2-x1 Y=y2-y1 Z=z2-z1 .

Формула |a|=Sqrt(X^2+Y^2+Z^2) позволяет по координатам вектора определить его модуль.

Если q w e – углы, которые состовляют вектор а с координатными осями, то cos q cos w cos e называются направляющими косинусами вектора а. Вследствии X=|a|cosq Y=|a|cosw Z=|a|cose

Отсюда следует, что cos^2q+cos^2w+cos^2e=1

Аффинная система координат (косоугольная система координат) — прямолинейная система координат в аффинном пространстве.

В -мерном пространстве она задаётся упорядоченной системой линейно независимых векторов , выходящих из одной точки . Аффинными координатами точки называют такие числа , что

Tочку и систему векторов называют репером или аффинным базисом; прямые, проходящие через вектора  — координатными осями.

На аффинной плоскости координату называют абсциссой, а  — ординатой точки . В пространстве же координаты точки называют её абсциссой, ординатой и аппликатой. Аналогичным образом именуют и координатные оси.

Линейные операции над векторами в аффинных координатах

Пусть , .

Свойства линейных операций:

1. .

2. .

3. .

4. для .

5. .

6. .

7. .

8. .

Пусть в пространстве выбран базис и пусть и . Тогда , , , . Таким образом, , .