Свойства неопределённых интегралов.

1) d(f(x))=f(x)+C

2) df(x)dx=f(x)dx

3) kf(x)dx=kf(x)dx, где k - постоянная величина.

4) (f(x)g(x))dx=f(x)dxg(x)dx

5) udv=uv-vdu (интегрирование по частям)

6) f(x)dx=F(x)+C  f((t))(t)dt=F((t))+C (замена переменной

интегрирования)

7) f(x)dx=F(x)+C  f(ax+b)dx= F(ax+b)+C

28.

Если существует предел этой суммы, когда длины всех частей стремятся к нулю, то он называется определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначается .

Свойства определённого интеграла.

1) , где F(x) - первообразная для f(x) (формула Ньютона-Лейбница)

2)

3)

4) (интегрирование по частям)

5) , где a=() и b=() (замена переменной)

6)

7) если a<b и f(x)0, то  если a<b и f(x)g(x), то

8) если f(x) непрерывна на [a;b], то , где с(a;b) (теорема о среднем)

29.

, где F(x) - первообразная для f(x) (формула Ньютона-Лейбница)

30-33.

Приложения определённого интеграла:

Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: x=a, x=ba, y=f(x)0, y=0	, или кратко
Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: x=a, x=ba, y=f(x), y=g(x)f(x)
Площадь плоской фигуры в полярной системе координат, ограниченной линиями: =, =, r=r()0
Длина плоской линии, заданной параметрически:
Длина плоской линии, заданной уравнением: y=f(x), axb
Длина плоской линии в полярной системе координат: r=r(), 
Объём тела, полученного вращением фигуры 0yf(x), axb вокруг оси Ox	или кратко
Аналогично вокруг оси Oy
Площадь поверхности, образованное вращением линии y=f(x), axb вокруг оси Ox	или кратко
Аналогично вокруг оси Oy

35.

Рассмотрим множество A пар действительных чисел (x,y). Говорят, что на множестве A задана функция (двух аргументов) f, если задано соответствие по которому каждому элементу множества A (область определения) соответствует единственный элемент числового множества B (множество значений). Функции двух аргументов могут быть заданы формулами, таблицами или графически.

36.

Частной производной функции z = f(x,y) по x называется обычная производная при условии, что y - постоянная и аналогично - частная производная по y. Они обозначаются так:

или: или: z_x и z_y или: f_x(x,y) и f_y(x,y)

Полным дифференциалом называется выражение: dz = z_xdx + z_ydy

37.

Экстремум функции нескольких аргументов.

Если в некоторой окрестности точки (x₀,y₀) выполняется условие f(x,y)<f(x₀,y₀), то (x₀,y₀) называется точкой максимума, а если f(x,y)>f(x₀,y₀), то (x₀,y₀) называется точкой минимума. Максимум и минимум называются экстремумами.

Необходимые условия экстремума:

38.

Достаточные условия экстремума:

Обозначим A = f_xx(x₀,y₀), B = f_xy(x₀,y₀), C = f_yy(x₀,y₀).

Если B² -4AC<0, то в точке (x₀,y₀) минимум при A>0 и максимум при A<0.

Если B² -4AC>0, то в точке (x₀,y₀) экстремума нет.

39.

Уравнение вида y=f(x)g(y) называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно решается так: умножим обе части на dx, разделим на g(y) и проинтегрируем. При этом если g(y₀)=0, то y=y₀ тоже является решением.

40.

Уравнение вида называется однородным уравнением. Замена неизвестной по формуле y=zx приводит к уравнению с разделяющимися переменными.

41.

Уравнение вида y+f(x)y=g(x) называется линейным уравнением. Для его решения делаем замену y=uv. Получим uv+uv+f(x)uv=g(x); uv+u(v+f(x)v)=g(x); v+f(x)v=0; найдём какое-нибудь v и подставим в предыдущее равенство: uv=g(x); найдя отсюда u и подставив в y получим ответ.

42.

Уравнение вида y = xy+f(y) называется уравнением Клеро. Общее решение уравнения Клеро имеет вид y = xC+f(C). Особое решение уравнения Клеро имеет вид: , где p - параметр.

43.

Уравнение ay+by+cy=0 называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составим уравнение a² + b + c = 0. Пусть его корни ₁ и ₂. Тогда возможны три случая:

1) ₁ и ₂ действительны и различны 

2) ₁ = ₂ =  y=C₁e^x+C₂e^x

3) ₁ и ₂ комплексные _1,2 = i  y=e^x(C₁cos(x) +C₂sin(x))

45.

Основные приближённые методы решения уравнений: метод итераций, метод деления пополам, метод хорд и метод касательных. Метод хорд и метод касательных обычно применяются совместно.

46.