3. Случайные процессы.

Случа́йный проце́сс (случайная функция) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты.

Другое определение:

Случайным называется процесс u(t), мгновенные значения которого являются случайными величинами.

Функция X(t) называется случайной, если ее значение при любом аргументе t является случайной величиной. Случайные функции времени называют случайными процессами.

Реализацией случайной функции X(t) (выборочной функцией) называется конкретный вид, который она принимает в результате опыта. Реализация случайного процесса может рассматриваться как элемент множества возможных физических реализаций случайного процесса (рис. 5.8). Совокупность реализаций случайного процесса называется ансамблем реализаций. Совокупность значений реализаций в фиксированный момент времени (выборка случайных значений) называется сечением случайного процесса.

4. Структурные средние и способы их вычисления.

Кроме степенных средних в статистике для относительной характеристики величины варьирующего признака и внутреннего строения рядов распределения пользуются структурными средними, которые представлены ,в основном, модой и медианой.

Мода — это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой.

Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

5. Нормальное распределение.

Нормальное распределение, также называемое гауссовым распределением, гауссианой или распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения

Нормальное распределение играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в статистической физике. Физическая величина, подверженная влиянию значительного числа независимых факторов, способных вносить с равной погрешностью положительные и отрицательные отклонения, вне зависимости от природы этих случайных факторов, часто подчиняется нормальному распределению, поэтому из всех распределений в природе чаще всего встречается нормальное (отсюда и произошло одно из названий этого распределения вероятностей)

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть является с математической точки зрения не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

6. Методы моделирования случайных величин.

---------------------------------------------------------------------

7. Корреляционная связь. Вычисление коэффициента корреляции. Вычисление коэффициента корреляции для малочисленных выборок.

Корреля́ция(от лат. correlatio), (корреляционная зависимость) — статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин.

Значительная корреляция между двумя случайными величинами всегда является свидетельством существования некоторой статистической связи в данной выборке, но эта связь не обязательно должна наблюдаться для другой выборки и иметь причинно-следственный характер. Часто заманчивая простота корреляционного исследования подталкивает исследователя делать ложные интуитивные выводы о наличии причинно-следственной связи между парами признаков, в то время как коэффициенты корреляции устанавливают лишь статистические взаимосвязи. Например, рассматривая пожары в конкретном городе, можно выявить весьма высокую корреляцию между ущербом, который нанес пожар, и количеством пожарных, участвовавших в ликвидации пожара, причём эта корреляция будет положительной. Из этого, однако, не следует вывод «бо́льшее количество пожарных приводит к бо́льшему ущербу», и тем более не имеет смысла попытка минимизировать ущерб от пожаров путем ликвидации пожарных бригад.[5]В то же время, отсутствие корреляции между двумя величинами ещё не значит, что между ними нет никакой связи.

Важной характеристикой совместного распределения двух случайных величин является ковариация (или корреляционный момент). Ковариация являетcя совместным центральным моментом второго порядка.[6] Ковариация определяется как математическое ожидание произведения отклонений случайных величин

Для устранения недостатка ковариации был введён линейный коэффициент корреляции (или коэффициент корреляции Пирсона)

8. Генеральная и выборочная совокупности. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.

1.Генеральная (включает все единицы наблюдения, которые могут быть к ней отнесены в соответствии с целью исследования.) Генеральная совокуп¬ность может рассматриваться не только в пределах конкретных производств или территориальных границ, но также и ограничи¬ваться другими признаками (пол, возраст) и их сочетанием.

Таким образом, в зависимости от цели исследования и его за¬дач изменяются границы генеральной совокупности, для этого ис¬пользуют основные признаки, ее ограничивающие.

1. Выборочная (часть генеральной совокупности, которая должна быть репрезентативной по отношению к генеральной и наиболее полно отражать ее свойства). На основе анализа вы¬борочной совокупности можно получить достаточно полное пред¬ставление о закономерностях, присущих всей генеральной сово¬купности.

Выборочная совокупность должна быть репрезентативной, т. е. в отобранной части должны быть представлены все элементы и в таком же соотношении, как в генеральной совокупности. Иными сло¬вами, выборочная совокупность должна отражать свойства генераль¬ной совокупности, т. е. правильно ее представлять

Репрезентативность должна быть количественной и качественной.

Количественная - основана на законе больших чисел и означает достаточную численность элементов выборочной совокупности, расчитываемую по специальным формулам и таблицам.

Качественная - основана на законе вероятности и означает соотвестиве (однотипность) призщнаков, характеризующих элементы выборочной совокупности по отношению к генеральной.

Эмпирическая функция распределения — Выборочная (эмпирическая) функция распределения в математической статистике это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x1; n1), (x2; n2), ..., (xk; nk). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат - соответствующие им частоты ni. Точки ( xi; ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению ni / h (плотность частоты).

Полигон частот

Гистограмма относительных частот