2. Линии на комплексной плоскости

В ведем понятие комплекснозначной функции действительной переменной как отображения множества А R на В :

.

Очевидно, что z(t) = x(t) + y(t)i, где x(t) = Re z(t), y(t) = Im z(t).

Нетрудно убедиться в справедливости следующих утверждений и формул.

1. Для непрерывности функции z(t) в точке t₀ необходимо и достаточно, чтобы в этой точке были непрерывны функции x(t) = Re z(t) и y(t) = Im z(t).

2. .

3. .

4. 

Одним их способов задания кривой на плоскости является параметрическое задание

Будем рассматривать гладкие и кусочно-гладкие кривые. Кривая называется гладкой на А, если функции x(t) и y(t) имеют на А непрерывные производные x′(t), y′(t). Кривая называется кусочно-гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких кривых.

Из определения функции z(t) следует, что геометрически ее задание определяет кривую на плоскости z. Следовательно, равенство

z = z(t), t A

является уравнением кривой в параметрической форме.

Примеры

1. Записать в параметрической форме уравнение окружности, центр которой находится в точке С_о(х_о, y_о), а радиус равен R.

Используем известные параметрические уравнения окружности:

Отсюда получаем z(t) = x(t) + i y(t) = x₀ + Rcost + (y₀ + Rsint)i или z(t) = z₀ + R(cost + i sint), где z₀ = x₀ + y₀i – центр окружности. Используя формулу Эйлера, запишем уравнение окружности в параметрической форме:

z(t) = z₀ + Re^it,

Переписав это уравнение в виде z – z₀ = Re^it, получим равенство которое определяет уравнение окружности на плоскости z, записанное в комплексной форме.

2. Записать в комплексной форме уравнения координатных осей.

Заметим, что поэтому уравнение оси y x = 0 примет вид а и тогда уравнение оси x y = 0 примет вид

3. Записать в комплексной форме уравнение биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Уравнение биссектрисы угла x = y принимает вид

откуда , или ,

а если это уравнение умножить на , то его можно записать в виде

Уравнение биссектрисы можно записать и так:

Re z = Im z.

4. Определить вид кривой, заданной следующими уравнениями.

а) Im

И спользуя правило деления находим Im  отсюда получаем уравнение кривой в действительной форме:

т.е. x² + y² +2y = 0, или x² + (y + 1)² = 1.

В комплексной форме будем иметь – уравнение окружности радиуса 1 с центром в точке z₀ = –i (рис. 2.1).

б)

Перейдем к алгебраической форме z = x + yi: Далее по определению модуля запишем квадраты модулей полученных комплексных чисел: (x+3)² + y²=(х– 5)² + y².

Отсюда после преобразований имеем x = 1, или в комплексной форме Re z = 1 (рис. 2.2).

Геометрически эту задачу можно решить, если воспользоваться геометрическим смыслом модуля как расстояния между точками. Переформулируем условие следующим образом: найти геометрическое место точек z, равноудаленных от заданных точек z = –3 и z = 5. Очевидно, что прямая, которая перпендикулярна отрезку, соединяющему эти точки, и проходит через его середину. Такой прямой является x = 1 или Re z = 1.