2. Для того, чтобы их найти, воспользуемся теоремой об активных стратегиях.

Е сли первый игрок придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то его средний выигрыш будет равен цене игры v, какой бы активной стратегией не пользовался второй игрок. Для игры 2х2 любая чистая стратегия противника является активной, если отсутствует седловая точка. Поэтому средний выигрыш и первого и второго игрока будет равен цене игры.

3. Пусть игра задана матрицей

Средний выигрыш первого игрока, если он использует оптимальную смешанную стратегию х^*=(x₁^*,x^*₂), а второй игрок – чистую стратегию, соответ.первому столбцу платежной матрицы, равен цене игры v:

a₁₁ x₁^*+a₂₁ x^*₂ = v.

Тот же средний выигрыш получает первый игрок, если второй игрок применяет стратегию, соответ.второму столбцу платежной матрицы, т.е. a₁₂ x₁^*+a₂₂ x^*₂ = v. Учитывая, что x₁^*+ x^*₂=1, получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии первого игрока и цены игры:

a₁₁ x₁^*+a₂₁ x^*₂ = v.

a₁₂ x₁^*+a₂₂ x^*₂ = v

x₁^*+ x^*₂=1

Решая эту систему, получим оптимальную стратегию

x₁^*=

x₂^*=

и цену игры v =

4. Д ля второго игрока

В=-А^Т=

Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании оптимальной смешанной стратегии второго игрока, получаем, что при любой чистой стратегии первого игрока средний проигрыш второго игрока равен v, т.е. a₁₁ у₁^*+ a₁₂ у₂^*=v.

Тогда оптимальная стратегия второго игрока определяется по формулам:

у₁^*=

у₂^*=

v’=-v

6. Геометрический метод нахождения цены игры 2×2 и оптимальных стратегий игрока a.

Итак, мы можем сформулировать общий алгоритм геометрического нахождения оптимальных стратегий игрока А, цены игры, нижней и верхней цены игры в чистых стратегиях, седловых точек матрицы и доминирующих стратегий игроков.

1. Берем горизонтальный отрезок [0,1].

2. В концах отрезка [0,1] проводим к нему 2 перпендикуляра: левый соответ. стратегии А₁ и правый, соотв.стратегии А₂.

3. На левом перпендикуляре от точки 0 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) элементы a₁₁ и a₁₂ первой строки матрицы А

4. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] (как на вертикальной числовой оси) элементы a₂₁ и a₂₂ второй строки матрицы А

5. Соединяем точки, изображающие элементы с одинаковыми вторыми индексами, т.е. эл-ты, стоящие в одном и том же столбце матрицы А: a₁₁ с a₂₁ и a₁₂ с a_22. В результате получаем отрезки a₁₁a₂₁ и a₁₂a_22.

6. Если отрезки a₁₁a₂₁ и a₁₂a₂₂ не убывающие, то стратегия А₂ доминирует стратегию А₁. Если отрезки a₁₁a₂₁ и a₁₂a₂₂ возрастающие, то стратегия А₂ строго доминирует А_1.

7. Если отрезок a₁₁a₂₁ лежит не ниже отрезка a₁₂a₂₂, то стратегия В₂ доминирует стратегию В₁. Если отрезок a₁₁a₂₁ лежит выше отрезка a₁₂a₂₂ и не пересекается с ним, то стратегия В₂ строго доминирует стратегию В₁

8. Находим нижнюю огибающую отрезков a₁₁a₂₁ и a₁₂a₂₂

9. Находим наивысшие точки нижней огибающей

10. Проектируем их ортогонально на горизонтальный отрезок [0,1]

11. Полученные проекции р⁰ определяют оптимальные стратегии Р⁰=(1-р₀,р₀) игрока А.

12. Ордината наивысшей точки огибающей равна цене игры V

13. Верхний из двух концов нижней огибающей (лежащих на перпендикулярах) есть нижняя цена игры в чистых стратегиях

14. Нижний из двух верхних концов отрезков a₁₁a₂₁ и a₁₂a₂₂ есть верхняя цена игры в чистых стратегиях

15. Если элемент является нижним на перпендикуляре, где он лежит, и верхним концом отрезка a₁₁a₂₁ или a₁₂a₂₂ , на котором он лежит, то этот эл-т является седловой точкой. В этом случае чистая стратегия игрока В, номер которой совпадает со вторым индексом седловой точки, является оптимальной.

Мы дали геометрическую интерпретацию оптимальных стратегий игрока А. Если матрица игры содержит седловую точку, то автоматически выявляется и оптимальная стратегия игрока В. Но можно достаточно удовлетворительно проинтерпретировать геометрически оптимальную стратегию игрока В и в случае отсутствия седловых точек.