16.Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства. Среднее квадратичное отклонение. Размерность дисперсии и среднеквадратичного отклонения.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Дисперсию удобно вычислять по формуле

Свойства дисперсии:

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из ее дисперсии:

17.Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.

НСВ- св которая может принять любое значение из некоторого конечного или бесконечного интнрвала.

Геом.смысл: абсцесса центра тяжести криволин. трапеции огранич. графиком кр. распред-ия полигоном распред для ДСВ и Ох.

D(X)=M(X-M(X))²

σ (Х)= D(X)^1/2

D(X)= M(X)²-M²(X)

Пусть M(X) - матожидание случайной величины X  ее отклонение - это X-M(X)  Тогда матожидание отклонения равно нулю:  M(X-M(X))=0  больше никакой "теоремы" в голову не приходит...  Доказательство следует из линейности матожидания M(X-M(X))=M(X)-M(M(X)) и того, что матожидание постоянной равно самой постоянной M(M(X))=M(X)

18. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства.

Судить о хар-ре распр-ия в небольшой окрестности точек числ. оси позвол-т плотность распределения вер-ей. Рассм-м НСВ Х с интегр.непр-но диф-ой ф-ией распр-ия F(x).

Вер-ть попад-ия этой вел-ны в интервал (х,х+∆х) равна Р(х<X<x+∆x)=F(x+∆x)-F(x).

Вер-сть, к-рая находится на ед-цу длины рассмарт-го интервала: (Р(х<X<x+∆x))/∆x=(F(x+∆x)-F(x))/∆x.

Если мы перейдем к пределам, то получим вер-ть, кот. прих-ся на изолиров-ую точку Х:

Пл-тью распр-ия вер-тей (диф.фун-ей распр-ия) наз-ся первая производная интегр. ф-ции распр-ния F(x):

f(x)=F’(x).

График ПР вер-тей – кривой распр-ия CВ Х.

Cв-ва ПР:

1.f(x)≥0 для люб.x – cв-во неотриц-ти.

3. -

Cв-во нормировки.

19.Равномерный закон распределения ,показательное и нормальное распределение и его числовые характеристики.

Непр. случ. велич.х распред. равномерно на

отрезк [а;b], если её плотность вероятности

р(х) постоянна на этом отрезке и =0 вне его:

1/ (b-a), а< =х<=b

Р(х)= {

О, х<а, х>b

Функция распред. случайн. величины, расп-

ред-ой по равномерн. закону, имеет вид:

O, x<=a

F(x)= { (x-a)/(b-a), a<x<=b

1, x>b

График р(х) иF(х)на рис

Мат. ожидание и дисперсия равн. случ.

величины:

МХ=(а+b)/2; DХ=(b-а)( b-a)/ 12

Показательный закон распределения и его числовые характеристики.

Непрерывная СВ Х имеет показ. (экспоненциальное) распределение с параметром λ >0, если ее плотность распред-я имеет вид:

Ф-ция распределения СВ, распределенной по показ. з-ну:

Показательному распределению обычно подчиняется величина срока службы различных устройств и времени безотказной работы отдельных элементов этих устройств, другими словами – величина промежутка времени между появлениями двух послед-х редких событий.

Вероятность попадания случайной величины Х на интервал (α;β)

Нормальный закон распределения В начале XIX века нормальное распределение затмило собой все остальные, поскольку в работах Гаусса и Лежандра утверждалось о нормальном законе распределения ошибок наблюдений. Нормальный закон распределения (или распределение Гаусса) задается следующей дифференциальной функцией параметры .

( - max = а - , x = а + - точки перегиба.