25. Дифференциал.Инвариантность.

Дифференциал функции y=f(x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обо-значается dy (или df(x) ).

Иначе. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал незави-симой переменной.

Если x - независимая переменная, то dx = x - x0 (фиксированное приращение). В этом случае имеем df(x0) = f'(x0)dx.

Если x = φ(t) - дифференцируемая функция, то dx = φ'(t0)dt. Следовательно,

dt=

т. е. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргумента.

Инвариаетность

26. Теорема Ролля,Теорема Ферма

Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) утверждает, что

Если вещественная функция, непрерывная на отрезке[a,b] и дифференцируемая на интервале(a,b) , принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Доказательство

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.в интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Теорема Ролля:пусть

1)f(x)определена и непрерывна на промежутке[a,b]

2)сущ-ет конечная производная f’(x)в интервале(a,b)

3)на концах f(a)=f(b),тогда сущ-ет С,а<C<b f’(c)=0 m<=f(x)<=M

Функция достигает наибол. И наименьш. Зн-е дельта m=M отсюда следует f(x)=const отсюда следует f’(x)=0

2m не равно M

На концах значения одинаковые ,то или мин или максимальное достигают во внутренней точке то по теор. Ферма в этой точке производная равна нулю

Теорема Ферма: Пусть ф-я f(x)определена в некоторых промежутках Х и во внутренней точке С принимает наибольшее (наименьшее)значение ,тогда f’(x)=0

27. Теорема Лагранжа,теорема Коши

Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке[a,b] и дифференцируема в интервале(a,b) , то найдётся такая точка c э (a,b) , что Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке[a,b] найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Доказательство

Для функции одной переменной:

Введем функцию . Для нее выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка ее значения равны f(a) . Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка , в которой производная функции F равна нулю:

что и требовалось доказать.

Теорема Коши

1)Пусть f(x),g(x) определены на [a,b]

2)сущ-ют производные f’(x),g’(x) на интервале(a,b)

3)g’(x) не равно 0,любое Х э [a,b],тогда

Существует С, a<c<b, f’(c)/g’(c)=f(b)-f(a)/g(b)-g(a)

Док-во

g(b) не равно g(a)

составим вспомогательную фун-ию F(x)=f(x)-f(a)-f(b)-f(a)/g(b)-g(a)*(g(x)+g(a)) непрерывна F’(x)=f’(x)- f(b)-f(a)/g(b)-g(a)*g’(x)

F(a)=f(a)-f(a)-(f(b)-f(a)/g(b)-g(a))*(g(a)-g(a))=0

F(b)=f(b)-f(a)-(f(b)-f(a)/g(b)-g(a))*(g(b)-g(a))=0

Сущ-ет С F’(c)=0 отсюда следует f’(c)-(f(b)-f(a)/g(b)/g(a))*g’(c)=0

F’(c) /g’(c)=f(b)-f(a)/g(b)-g(a)