Билет 3

Основные понятия динамики
	Масса (m) - количественная мера инертности тела. Инертность - свойство тела сохранять свою скорость неизменной в отсутствии внешнего воздействия. Чем инертнее тело, тем меньше изменяется его скорость за единицу времени под действием одной и той же внешней силы. Единица измерения массы в системе СИ - 1 кг.

Плотность тела (r) - масса, содержащаяся в единице объема вещества: r = m/V (кг/м³).

Сила (F) - количественная мера взаимодействия тел.  Следствие действия на тело силы: появление у тела ускорения или деформация тела. Сила - векторная величина. Она характеризуется числовым значением, направлением и точкой приложения. Действие на тело нескольких сил можно заменить одной равнодействующей силой, которая находится по принципу суперпозиции:

F_р= F₁ + F₂ + ... + F_n - (силы складываются по правилу сложения векторов).

Импульс тела (P) - мера движения тела. Импульс равен произведению массы на скорость P = m·V.

Система тел - группа взаимодействующих тел, движение которых рассматривается совместно. Полным импульсом системы тел P_cназывается векторная сумма импульсов тел, входящих в систему: P_c= P₁ +P₂ + ... + P_n .

Изменение импульса находится как разность векторов конечного и начального импульса тела

Dp = p₁ - p₀ = p₁ + ( - p₀).

Системы тел бывают замкнутыми и незамкнутыми.

Замкнутой называется система тел, если сумма внешних сил, действующих на нее со стороны тел, не входящих в данную систему, равна нулю. 

Если это условие не выполняется, то система будет незамкнутой.

Импульсом силы (I) называется произведение вектора силы на время ее действия: I = F·Dt.

Билет 4

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом:

где

 — радиус-вектор центра масс,

 — радиус-вектор i-й точки системы,

 — масса i-й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

где:

 — суммарная масса системы,

 — объём,

 — плотность.

Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Закон движения центра масс.

Воспользовавшись законом изменения импульса,  получим закон движения центра масс:

                                  dP/dt = M∙dV_c/dt = ΣF_i

Центр масс системы движется так же, как двигалась бы частица с массой, равной массе системы, под действием силы, равной векторной сумме всех внешних сил, действующих на входящие в систему частицы.

В частности, центр масс замкнутой системы относительно произвольной ИСО движется равномерно прямолинейно или покоится. Изменение импульса центра масс происходит за счет внешних сил.

Внутренние силы не влияют на характер его движения, если внешнее воздействие на систему постоянно и однородно. Например, во время салюта движение центра масс разорвавшегося пиротехнического снаряда в постоянном однородном поле силы тяжести происходит по параболе.

Если внешнее воздействие изменяется, то на различные части системы начинают действовать разные силы и характер движения центра масс меняется. В качестве примера рассмотрим движение системы, состоящей из одного тела - снаряда. В случае падения одной из частей разорвавшегося в воздухе снаряда на землю в системе появится новая внешняя сила - сила реакции опоры. Характер движения центра масс системы (осколков снаряда) при этом изменится. Наличие внутренних сил в этом примере является необходимым условием изменения характера движения центра масс системы. Без этих сил, обусловивших распад снаряда на части, не произошло бы изменения траектории его движения вплоть до падения снаряда на землю.

 

Закон сохранения импульса. Выясним, как изменяются импульсы двух тел при их взаимодействии.

Обозначим скорости тел массами m₁ и m₂ до взаимодействия через   и  , а после взаимодействия — через  и  .

По третьему закону Ньютона силы, действующие на тела при их взаимодействии, равны по модулю и противоположны по направлению; поэтому их можно обозначить   и  .

Для изменений импульсов тел при их взаимодействии на основании равенства (16.2) можно записать

,

,

где t — время взаимодействия тел. Из этих выражений получаем

. (16.3)

Таким образом, векторная сумма импульсов двух тел до взаимодействия равна векторной сумме их импульсов после взаимодействия.

Экспериментальные исследования взаимодействий различных тел — от планет и звезд до атомов и элементарных частиц — показали, что в любой системе взаимодействующих между собой тел при отсутствии действия сил со стороны других тел, не входящих в систему, или равенстве нулю суммы действующих сил геометрическая сумма импульсов тел остается неизменной.

Система тел, не взаимодействующих с другими телами, не входящими в эту систему, называется замкнутой системой.

В замкнутой системе геометрическая сумма импульсов тел остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса.

Билет 5

Момент силы относительно оси — это скалярная величина, ко- торая  является  характеристикой вращательного действия  силы, равная произведению модуля силы, действующей на твердое тело, на плечо силы этой силы относительно данной оси: M = Fd. Момент силы, которая вызывает вращение тела вокруг данной оси по часовой стрелке, является отрицательным, а момент силы, вращающей тело против часовой стрелки, — положительным. Момент  инерции тела относительно оси — это физическая величина, которая  является мерой инертности  тела во вращательном движении вокруг этой  оси, равна сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний. Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси  равен сумме моментов инерции этого  тела относи- тельно оси, параллельной оси и проходящей через центр инерции, и произведения массы тела на квадрат расстояния  между осями.

 Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени.         Это один из фундаментальных законов природы.         Аналогично для замкнутой системы тел, вращающихся вокруг оси z:

         отсюда                   или          .

       Если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тождественно равен нулю, то момент импульса относительно этой оси не изменяется в процессе движения.         Момент импульса и для незамкнутых систем постоянен, если результирующий момент внешних сил, приложенных к системе, равен нулю. 

Билет 6

Работа постоянной и переменной сил. Мощность.

A = |F|·|S|·cosa = (F·S)  Работа постоянной силы равняется скалярному произведению силы на перемещение.  Единица измерения работы - Джоуль. 1 Дж = 1 Н·м.  Работа переменной силы  Пусть тело движется прямолинейно с равномерной силой под углом £ к направлению перемещения и проходит расстояние S/ Работой силы F называется скалярная физическая величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектора перемещения. A=F·s·cos £. А=0, если F=0, S=0, £=90º. Если сила непостоянная (изменяется), то для нахождения работы следует разбивать траекторию на отдельные участки. Разбиение можно производить до тех пор, пока движение не станет прямолинейным, а сила постоянной │dr│=ds.. Работа, совершенная силой на данном участке определяется по представленной формуле dA=F· dS· cos £= = │F│·│dr│· cos £=(F;dr)=Ft·dS A=F·S· cos £=Ft·S . Таким образом работа переменной силы на участке траектории равна сумме элементарных работ на отдельных малых участках пути A=SdA=SFt·dS= =S(F·dr).  Мощность — физическая величина, равная отношению работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени.  P=(A2-A1)/(t2-t1)-средняя мощность  P=dA/dt -мгновенная мощность

Работа, совершаемая  телом при  вращательном  движении

Если произвольная м.т. вращается по окружности и на нее действует сила    (рис. 5.11), то при повороте на некоторый угол совершается элементарная работа А = Fds, где ds=r d.

Тогда

А =(r F) d = M d.

(5.18)

Полученное выражение остается справедливым и случае системы м.т., совершающих вращательное движение относительно оси z при  =сonst. В этом случае момент внутренних сил равен нулю и работа не совершается. Для нахождения полной работы необходимо вычислить интеграл

,

(5.19)

где  = ₂ - _1.

Если действующая сила является потенциальной, то  А= dW_p ,  где dW_p - бесконечно малое изменение потенциальной энергии тела при повороте  на малый угол d, т.е. dW_p =  M_zd или  M_z =  dW_p/d .

Билет 7

Кинетическая энергия Е (или живая сила) движущейся матери­альной точки измеряется половиной произведения массы точки на квадрат ее скорости

E=mv²/2 кгм.

Приращение кинетической энергии точки равно сумме ра­бот А сил, приложенных в точке:

E-E₀=A илиmv²/2- mv²₀/2=A

где V₀ и V- скорости точки в начальном и конечном ее положении.

Отсюда следует, что кинетическую энергию точки можно рас­сматривать как работу, которую может произвести движущаяся точка. Кинетическая энергия поступательно движущегося тела определяется той же формулой, что и кинетическая энергия точки.

Кинетическая энергия системы – скалярная величина Т, равная арифметической сумме кинетической энергий всех точек системы:  . Если система состоит из нескольких тел, то Т = åТ_к. Поступательное движение: Т_пост= . Вращательное движ-ие: Т_вр= , J_z– момент инерции относительно оси вращения. Плоскопараллельное (плоское) движ-ие: Т_пл= + ,  v_C – скорость центра масс. Общий случай: Т= + , J_CP– момент инерции тела относительно мгновенной оси. Теорема Кенига: Т= +  – кинетич. энергия мех. сист. = сумме кинетич. энергии центра масс системы, масса которого равна массе всей системы, и кинетич. энергии этой системы в ее относительном движении относительно центра масс. 

Билет 8

Сила, работа которой не зависит от формы и длины пути (от траектории точки приложения силы), называется консервативной силой. Математически условие консервативности силы выражается в виде: . Действительно, работа консервативной силы на замкнутом пути в силу определения будет:  . Величина   называется циркуляцией вектора  . Поэтому циркуляция консервативной силы по любому замкнутому контуру равна нулю.

Из определения консервативной силы вытекает и еще одно важнейшее свойство: работа консервативной силы равна изменению (убыли) некоторой скалярной функции  , зависящей только от положения частицы (тела) и называемой потенциальной энергией: или . Последняя из формул являются определением потенциальной энергии.

Как следует из нее, потенциальная энергия определена с точностью до произвольной постоянной.

 Пространство, в котором действуют консервативные силы, называется потенциальным полем.         Каждой точке потенциального поля соответствует некоторое значение силы   , действующей на тело, и некоторое значение потенциальной энергии  U. Значит, между силой     и  U  должна быть связь   , с другой стороны,  dA = –dU, следовательно   , отсюда

.

       Проекции вектора силы на оси координат:

       Вектор силы можно записать через проекции:

,  F = –grad U,

где   .         Градиент – это вектор, показывающий направление наибыстрейшего изменения функции. Следовательно, вектор     направлен в сторону наибыстрейшего уменьшения U.

Билет 9

Мо́щность — физическая величина, равная в общем случае скорости изменения энергии системы. В более узком смысле мощность равна отношению работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени.

Различают среднюю мощность за промежуток времени 

и мгновенную мощность в данный момент времени:

Интеграл от мгновенной мощности за промежуток времени равен полной переданной энергии за это время:

В физике механи́ческая эне́ргия описывает сумму потенциальной и кинетической энергии, имеющихся в компонентах механической системы. Механическая энергия — это энергия, связанная с движением объекта или его положением, способность совершать механическую работу.^[1][2]

[править]Сохранение механической энергии

Закон сохранения механической энергии утверждает, что если тело или система подвергается действию только консервативных сил, то полная механическая энергия этого тела или системы остаётся постоянной. В изолированной системе, где действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется.

Билет 11