2. Оптимизационные задачи. Необходимые и достаточные условия оптимальности.

Оптимизационная задача — пример экономико-математических моделей.

Задача оптимизации формулируется следующим образом: заданы множество Х (допустимое множество задачи) и функция (  — целевая функция, — вектор), определенная на Х; требуется найти точки минимума или максимума функции f на Х. Задача оптимизации имеет вид

или

(1)

В курсе рассматриваются задачи, допустимое множество которых лежит в евклидовом пространстве . Точка . называется точкой глобального минимума на множестве , или глобальным решением задачи (1), если при всех .

Точка называется точкой локального минимума на множестве X, или локальным решением задачи (1), если при всех , где .

Ясно, что глобальное решение является и локальным; обратное неверно. Задача (1) называется задачей безусловной оптимизации, если . Различают необходимые условия оптимальности, т. е. условия, которым должна удовлетворять точка, являющаяся решением задачи. И достаточные условия оптимальности, т. е. условия, из которых следует, что данная точка является решением задачи.

Необходимое условие локальной оптимальности.

Пусть дифференцируема в точке . Если точка локального экстремума, то

. (2)

Точки, удовлетворяющие условию (2), называются стационарными. Стационарные точки могут быть и точками локального минимума, и точками локального максимума, и точками перегиба. Для определения характера стационарных точек используется достаточное условие локальной оптимальности. Характер стационарной точки связан со знакоопределенностью симметричной матрицы . Матрица А называется положительно (неотрицательно) определенной, если при всех . Отрицательно (неположительно) определенной, если при всех ненулевых ; неопределенной, если для некоторых ненулевых и 0 ) для остальных ненулевых .

Достаточное условие локальной оптимальности.

Пусть дважды дифференцируема в точке ,  — стационарная точка. Тогда, если матрица А является положительно (отрицательно) определенной, то точка локального минимума (максимума); если матрица А является неопределенной, то  — седловая точка. Если матрица А является неотрицательно (неположительно) определенной, то для определения характера стационарной точки требуется исследование производных более высокого порядка. Для проверки знакоопределенности матрицы, как правило, используется критерий Сильвестра. Согласно этому критерию, симметричная матрица А является положительно определенной в том и только том случае, если все ее угловые миноры положительны. При этом угловым минором матрицы А называется определитель матрицы, построенной из элементов матрицы А, стоящих на пересечении строк и столбцов с одинаковыми (причем первыми) номерами.

3. Задача условной оптимизации.

Задача оптимизации (минимизации)

(3)

называется задачей условной оптимизации. Множество X это множество допустимых значений переменных. Это так называемые ограничения модели. Они могут быть как линейными , так и нелинейными.