Прямолинейные трещины, расположенные на оси

Рассмотрим, следуя Слепяну Л.И. два частных случая плоских задач.

1. Трещины отрыва, раскрываемые давлением и расположенные на прямой . Этот случай отличается тем, что на оси всей X . Отсюда

. Это требование можно удовлетворить, если принять, что выпоняется равенство , откуда следует связь между и :

. Подставляя это выражение в (15) и заменяя на , получим:

, откуда:

Из (14) следует . Решая систему уравнение для и , получаем:

, , (17)

Найдем выражения для смещений через :

Из (16) следует: .

Отсюда:

Или

Отсюда смещения выражаются формулами:

, (18)

В задаче о прямолинейной трещине, расположенной на оси X в интервале и нагруженной изнутри давлением , имеем следующие граничные условия для аналитической функции : при ,

при , так как , .

Эти граничные условия совпадают с условиями аналогичной задачи в антиплоской постановке теории упругости.

2. Трещины поперечного сдвига, раскрываемые сдвигающей нагрузкой и расположенные на прямой . Этот случай отличается тем, что на оси всей X . Отсюда и из (14), (15) следует, что и

. Это требование можно удовлетворить, если принять, что выполняется равенство , откуда следует связь между и : . Подставляя это выражение в (15) и заменяя на , получим:

, откуда:

Из (14) следует . Решая систему уравнений для и , получаем: , , , где

Кроме этого можно получить выражение для смещений:

,

В задаче о трещине поперечного сдвига выполняются следующие граничные условия: При , ,

при , так как , .

Эти граничные условия так же совпадают с условиями аналогичной задачи в антиплоской постановке продольного сдвига теории упругости.

Видим, что все 3 задачи сводятся к смешанной для :

при и ,

и имеют одно решение, даваемое формулой Келдыша – Седова:

(19)

Такое решение можно получить, если свести смешанную задачу к задаче Дирихле.

Рассмотрим функцию . При на интервале мнимая и равна . При - действительная. Для функции получаем задачу Дирихле: при задано: , при : .

Решение такой задачи: . Отсюда и следует решение (19).

Если разрез лежит в интервале , то вспомогательную функцию следует взять в виде . В этом случае решение:

.

Аналогичный прием применим, если разрезов вдоль оси Х несколько. В этом случае

Если нагрузка постоянна вдоль трещины: , то ,(19¹)

Откуда следует .

Найдем и при в задаче отрыва при постоянном давлении в трещине:

при (20)

при _,

Для плоской деформации и (21)

Для плоского напряженного состояния и

При подходе к вершине трещины напряжения неограниченно растут. Найдем их для , где :

, где - коэффициент интенсивности напряжений.

Из приведенного решения следует

В случае переменного преобразуем (19) к виду и рассмотрим значения вблизи правой вершины трещины при , . Приближенно имеем:

Отсюда и

Найдем отсюда при :

При

Вблизи левой вершины . Приближенно имеем: . Отсюда получается, что для левой вершины трещины