Билет 2

1. Теоретическая прочность кристаллических тел на сдвиг. Оценка теоретической прочности через модуль сдвига.

Оценка теоретической прочности при сдвиге. Сдвиг- это скольжение одной атомной плоскости по другой, при котором все атомы одной плоскости сдвигаются относительно другой на одно и тоже расстояние .

Здесь

Потенциальная энергия решетки при сдвиге является периодической функцией деформации с периодом 1. Она минимальна в положении равновесия, когда и максимальна в промежуточном состоянии, т.е. при Минимумам и максимумам соответствуют устойчивые и неустойчивые положения равновесия решетки. Если , то после снятия напряжений решетка вернется в исходное состояние (упругая деформация). Если то произойдет самопроизвольный переход в ближайшее положение устойчивого равновесия , т.е. деформация станет пластической ( скольжение атомных слоев может продолжится с последующей деформацией ,если внешнее напряжение не снято).

Я.И.Френкель(1926 г.) предложил аппроксимировать зависимостью

Напряжение сдвига определяется по производной от потенциальной энергии по

Отсюда следует, что напряжение будет максимально тогда, когда . Такое напряжение примем за теоретический предел прочности при сдвиге . При малых напряжение сдвига и угол сдвига связаны законом Гука . ( - модуль сдвига), а так как при деформация приближенно равна углу сдвига, имеем связь с .

,

из которой следует оценка теоретической прочности при сдвиге: .

Для меди значение на три порядка больше , определяемой экспериментально: , .

2. Решение задачи о прямолинейном разрезе, нагруженном из нутрии сдвиговыми усилиями, вызывающими плоское деформирование поперечного сдвига. (на основе комплексного представления Слепяна)

Трещины поперечного сдвига, раскрываемые сдвигающей нагрузкой и расположенные на прямой . Этот случай отличается тем, что на оси всей X . Отсюда и из (14), (15) следует, что и

. Это требование можно удовлетворить, если принять, что выполняется равенство , откуда следует связь между и : . Подставляя это выражение в (15) и заменяя на , получим:

, откуда:

Из (14) следует . Решая систему уравнений для и , получаем: , , , где

Кроме этого можно получить выражение для смещений:

,

В задаче о трещине поперечного сдвига выполняются следующие граничные условия: При , ,

при , так как , .

Эти граничные условия так же совпадают с условиями аналогичной задачи в антиплоской постановке продольного сдвига теории упругости.

Билет 3

1. Реальная прочность твердых тел. Факторы влияющие на прочность.

В удивительном по простоте опыте по подтверждению теоретической прочности, проведенном А.Ф.Иоффе (1924) поверхностный слой монокристалла NaCl смывался водой после чего кристалл испытывался на разрыв. При этом была получена прочность - сопоставимая со значением теоретической прочности . Прочность необработанных водой образцов равна 5Мпа. Этот эксперимент подтверждает гипотезу о превалирующей роли поверхностных микротрещин в понижении прочности образца. Объемные дефекты внутри монокристалла, конечно, так же влияют на прочность (1600, а не 3000 МПа), но, как оказалось, меньше, чем поверхностные.

Предположение о кардинальном влиянии дефектов основано на следующем интуитивно очевидном рассуждении. Разрушить бездефектный кристаллический образец можно, разорвав одновременно (или практически одновременно) все связи между двумя параллельными атомными плоскостями. Дефектность приводит к тому, что разрыв связей в сечении происходит не одновременно, а последовательно в вершине трещины, прорастающей из дефекта.

В последнем случае разрушающее внешнее усилие, затрачиваемое на последовательное разрушение ближайших к вершине трещины связей, будет существенно меньше, чем то, которое необходимо для одновременного разрыва всех межатомных связей в сечении. Против гипотезы о понижении прочности материала начальными микротрещинами, распределенными в сплошном теле, имеются доводы. Один из них основан на оценках, которые показывают, что дефекты в стали, способные понижать ее прочность до реально наблюдаемого значения, должны быть столь велики, что их можно легко обнаружить. Это несоответствие теоретически предсказанных размеров дефектов с наблюдаемыми объясняется, возможно, неучетом поликристалличности и, соответственно, существования множественных межзеренных дефектов. Известно, охрупчивание металлов связано с присутствием в них горофильных (любящих границу) примесей, главные из которых являются фосфор и сурьма. При охлаждении расплпва стали и его кристаллизации такие примеси вытесняются (диффундируют) на границы формирующихся зерен. Содержание примесей на границах становится в 100 и более раз выше, чем в объеме зерен. Связь зерен при этом оказывается менее прочной и поэтому, поликристалические тела разрушаются, как правило, по границам зерен. Повышая прочность стали, обычно стараются уменьшить количественное содержание таких вредных примесей или делают добавку вязкого молибдена, затрудняющего их диффузию при кристализации. Тем не менее, даже малые количества горофильных примесей могут, вероятно, существенно понизить прочность сплавов. Это подтверждается новыми техническими решениями получения сверхпрочных металлов. Так один из разработанных способов получения таких сталей основан на более равномерном распределении примесей в аморфном состоянии металла. При чрезвычайно быстром охлаждении (на 10⁶ градуса в секунду) вязкого расплава, состоящего на 80% из металла и на 20% из вязких металлоидов, атомы не успевают выстроится в решетку и расплав застывает не кристаллизуясь, сохраняя хаотическое расположение, свойственное жидкостям, стеклам. Технологически это осуществляется путем охлаждения струйки металла на вращающемся со скоростью 1000 об/мин массивном барабане. Расплав вытягивается в ленту металлического стекла толщиной в несколько десятков микрон, шириной в несколько сантиметров и длиной в десятки метров. Прочность такой ленты всего в 4 раза меньше теоретической прочности металла .

Аморфное состояние металла не является устойчивым и при нагреве его свыше 100^о со временем происходит кристаллизация, протекающая тем быстрее, чем больше температура.

Масштабный фактор.

В 1920 г. А.А. Гриффитс провел серию экспериментов по разрушению стеклянных образцов. Одна из серий была связана с испытаниями на разрыв тонких цилиндрических стеклянных нитей. Установлено, что прочность нитей монотонно увеличивается с уменьшением их диаметра (табл.1)

Таблица 1

d мкм	2.5	8	12.5	16	22
	5500	2000	1400	1000	220

( )

Гриффитс предположил, что прочность нитей понижается с увеличением толщины из-за дефектов, которые существуют в материале в виде мельчайших микротрещин. Чем меньше диаметр нити, тем меньше вероятность образования опасных микротрещин в испытуемой нити и тем она прочнее. Аналогичный опыт с известково-натриевыми стеклянными стержнями выполнен в 30-х годах Андеренгом. Растяжению подвергались стержни примерно равного диаметра, но разной длины. Получены следующие данные (табл. 2). Таблица 2

	5	10	20	45	90	183	1560
	13.0	13.5	12.5	13.0	12.7	12.7	13.0
	15	12.2	12.1	11.5	7.6	8.7	7.2

Результаты экспериментов определенно показывают на то, что увеличение длины стержня, а значит рост вероятности существования опасных дефектов, при неизменном диаметре, приводит к уменьшению прочности. В частности, отсюда можно заключить, что прочность больших тел меньше, чем малых, так как их дефектность больше.

Обнаружение начальных микротрещин в стекле оптическими методами затруднительно. Дело в том, что по оценкам дефекты, влияющие на прочность, имеют линейный размер и оптически прозрачны, так как практически не имеют толщины. Для выявления начальных дефектов в стекле был разработан специальный, не разрушающий образцы метод ионного обмена. Известково-натриевое стекло погружается в ванну с расплавом лития и азотнокислого калия, который добавлен в расплав для снижения температуры плавления. Ионы натрия в стекле способны к обмену, в данном случае они заменяются в приповерхностном слое меньшими ионами лития. Такая замена в решетке приводит к усадке материала в поверхностной пленке толщиной и соответственно к растяжению вдоль поверхности, а значит и к раскрытию имевшихся там дефектов. Специальными методами тонирования на площадке в 1 см² обнаружено несколько десятков тысяч дефектов. После обработки поверхности стекла плавиковой кислотой дефекты почти полностью исчезали.

2. Локальный критерий Гриффитса равновесного состояния трещины (вывод). Критерий Ирвина.

Локальные критерии разрушения для трещин отрыва, поперечного и продольного

(антиплоская деформация) сдвига

Асимптотики напряжений и смещений вблизи вершины трещины по линии, касательной к ней.

Трещины отрыва:

,

Трещина поперечного сдвига

, (23)

Трещина продольного сдвига

,

Эти выражения можно использовать для определения условий начала роста трещин по критерию Гриффитса.

Пусть в произвольном упругом теле имеется трещина. Тело нагружено силами . На части границ заданы смещения. Из решения упругой задачи о равновесном состоянии тела можно найти коэффициенты интенсивности напряжений . Подрастание трешины в ее вершине требует высвобождение механической энергии. Отнесенная к величине удлинения трещины, такая энергия определяется по формуле: ,

где первый член – работа внешних сил, второй – изменение упругой энергии тела. Ранее мы показали, что если заморозить смещения в точках приложения сил , то .

По Гриффитсу трещина находится в равновесии, если . Найдем удельное выделение энергии при подрастании трещины, используя ассимптотики напряжений и смещений. Для этого введем локальную систему координат с началом в вершине трещины и осью Х , направленной по касательной к трещине. В этой системе координат напряжения и смещения вблизи вершины трещины выражаются соотношениями (23). Удлиним трещину на , трещина раскроется дополнительно в интервале (0- ). Подсчитаем выделяющуюся при этом энергию. Рассмотрим переход от состояния до дополнительного разрушения к состоянию после удлинения трещины. При этом силы, удерживающие разрез в интервале (0- ) в сомкнутом состоянии и определяемые (23), уменьшаются до нуля , а смещения увеличиваются от нуля до асимптотических значений смещений, определяемых по (23) с учетом сдвига вершины трещины вдоль оси Х на . Выделившаяся энергия равна работе

.

Подставляя сюда асимптотические выражения (23) получаем:

Покажем, что . Этот интеграл равен половине интеграла по замкнутому контуру, охватывающему разрез от 0 до и проходящему по верхнему и нижнему берегам разреза по часовой стрелке. Значения подынтегральной функции на разных берегах разреза отличаются знаками, поэтому интеграл по контуру больше в два раза.

Такой интеграл находится через вычет подинтегральной функции в бесконечности: . При : , где возникает из-за выбора ветви, вычет в бесконечности равен коэффициенту при разложения в ряд Лорана

Отсюда вычет равен и .

Таким образом:

. (24)

Учитывая, что и в случае плоской деформации имеем для трещин отрыва в этом случае условие равновесного состояния :

. (25)

При плоском напряженном состоянии: (26)

Критерий Ирвина

Ирвин ввел величину - удельные затраты энергии на образования единицы площади трещины. При этом он к затратам добавил потери при пластическом деформировании возле вершины трещины: , причем если , то . Другая причина увеличения затрат на образование трещины – это развитие микротрещин вблизи вершины трещины. Последнее свойственно пластмассам и горным породам.

При из (24) для случая плоского деформирования следует:

. (25)

Отсюда критическая величина коэффициента интенсивности напряжений в вершине трещины: .

При этом условие равновесного состояния трещины Ирвина:

. (27)

В случае плоского напряженного состояния , (28)

где .

С использованием критерия Ирвина задача о равновесии тела с трещинами сводится к определению коэффициентов интенсивности напряжений (КИН). Для их определения используются аналитические и численные методы. При использовании численных схем приходится дробить сетки у вершины трещины или использовать специальные элементы, учитывающие корневой характер особенности полей напряжений и деформаций.