Тригонометрические функции, их свойства и графики.
Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.
Тригонометрическим функциям
присуще понятие
периодичности
(повторяемости значений
функции при различных значениях
аргумента, отличных друг от друга на
величину периода
,
где Т
- период), поэтому, в
список свойств тригонометрических
функций добавлен пункт
«наименьший положительный
период». Также для
каждой тригонометрической функции мы
укажем значения аргумента, при которых
соответствующая функция обращается в
ноль.
Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по порядку.
Функция синус y = sin(x).
Изобразим график функции синус, его называют "синусоида".
Свойства функции синус y = sin x.
Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при .
Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи:
Функция обращается в ноль при
,
где
,
Z –
множество целых чисел.Функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть
.Функция синус - нечетная, так как .
Функция убывает при
,
возрастает
при
.Функция синус имеет локальные максимумы в точках
,
локальные
минимумы в точках
.График функции y = sinx вогнут при
,
выпуклый
при
.Координаты точек перегиба
.Асимптот нет.
Функция косинус y = cos(x).
График функции косинус (его называют "косинусоида") имеет вид:
Свойства функции косинус y = cos x.
Область определения функции косинус: .
Наименьший положительный период функции y = cos x равен двум пи: .
Функция обращается в ноль при
,
где
,
Z –
множество целых чисел.Область значений функции косинус представляет интервал от минус единицы до единицы включительно: .
Функция косинус - четная, так как .
Функция убывает при , возрастает при .
Функция y = cos x имеет локальные максимумы в точках
,
локальные
минимумы в точках
.График функции вогнут при , выпуклый при .
Координаты точек перегиба
.Асимптот нет.
Функция тангенс y = tg(x).
График функции тангенс (его называют "тангенсоида") имеет вид:
Свойства функции тангенс y = tg x.
Область определения функции тангенс:
,
где
,
Z –
множество целых чисел.
Поведение
функции y
= tgx на
границе области определения
Следовательно,
прямые
,
где
,
являются вертикальными асимптотами.Наименьший положительный период функции тангенс
.Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
Область значений функции y = tgx: .
Функция тангенс - нечетная, так как .
Функция возрастает при
.График функции вогнутый при
,
выпуклый
при
.Координаты точек перегиба .
Наклонных и горизонтальных асимптот нет.
Функция котангенс y = ctg(x).
Изобразим график функции котангенс (его называют "котангенсоида"):
Свойства функции котангенс y = ctg x.
Область определения функции котангенс:
,
где
,
Z –
множество целых чисел.
Поведение на
границе области определения
Следовательно,
прямые
,
где
являются вертикальными
асимптотами.Наименьший положительный период функции y = ctgx равен пи: .
Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
Область значений функции котангенс: .
Функция нечетная, так как .
Функция y = ctg x убывает при
.График функции котангенс вогнутый при
,
выпуклый
при
.Координаты точек перегиба .
Наклонных и горизонтальных асимптот нет.