7. Характеристики стандартного нормального распределения.

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

8. Свойства плотности и функции распределения нормального закона.

Св-ва функции распределения:

1.0<=F(x)<=1 неотрицательная

2.Функция распределения – неубывающая

3.F(-∞)= 0 т.е. вероятность того, что случ.величина примет бесконечно малое значение

4.F(+∞)=0 вероятность того, что случ.величина примет бесконечно большое значение

5. Р(а<=X<=b) = F(a)-F(b) вероятность попадания случайной величины в диапазон а b

Св-ва плотности распределения:

1. Функция – четная f(-x) =f(x) её график симметричен относительно вертикальной оси и её отриц.значение совпадает с положит.значением

2. Функция стремится к нулю, если переменная стремится к плюс/минус бесконечности.

3. Верным явл. Неравенство

Ф(-х)= 1- Ф(х)

4. Если значение аргумента стремится к +∞ функция распределения стремится к 1 и монотонно возрастает к числовой прямой.

9. Нахождение вероятностей по таблице нормального закона. Перечислите, какие действия возможно осуществить при помощи таких таблиц.

Таблицы позволяют:

1. по заданному z значению находить S под графиком(значение функции распределения)

2. по известной площади под графиком находить соответствующее z значение

10. Операция стандартизации и формула преобразования операции стандартизации.

Стандартизация означает, что произвольное нормальное распределение можно сместить к 0. Z=x-m(mat.o)/сигма

11. Правило «трех сигм». Примеры применения правила.

Правило 3-х сигм (критерий Чебышева). Если случайная величина распределена по нормальному закону, то отклонение этой величины от математического ожидания ряда не превосходит влево и вправо от .

Это правило на практике используется как необходимое условие для того, чтобы данный экспериментальный ряд был распределен по нормальному закону. Это значит что, если правило не выполняется, то ряд экспериментальных данных не подчиняется нормальному закону распределения. Но это утверждение не всегда верно в "обратную сторону", т.е. если правило выполняется, то ряд экспериментальных данных подчиняется нормальному закону распределения. Иными словами, выполнение этого правила не гарантирует, что исследуемый ряд распределен нор-мально. Необходимы дополнительные исследования ряда.

12. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Примеры применения.

Если вероятность наступления события А в n независимых испытаниях есть величина постоянная и отличная от нуля, то вероятность того, что в n испытаниях событие A насупит m раз равна

13. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Примеры применения.

Позволяет вычислить вероятность получить от а до b успехов при проведении n испытаний по схеме Бернулли.

P(a < k < b) = Ф(z₂) – Ф(z₁)

Пример: в скольких случаях количество многодетных семей будет в интервале от 80 до 100.

z₁=a-np/√npq z₂=b-np/√npq

z₁=80-96/8,5=-1,9 z₂=100-96/8,5=0,5

По таблице находим f(-1,9)=1-f(-1,9)=1-0,9713=0,03

f(0,5)=1-0,6915=0,3

P(80<k<100)=0,3-0,03=0,27

Результат показывает, что 27% случаев многодетных семей будет находиться в интервале от 80 до 100.