Бұрылған өстерге қарағандағы инерция моменттерінің арасындағы байланыс

Қиманың ауырлық центрі арқылы өтетін өзара, перпендикуляр X, У өстеріне қарағандағы инерция моментері белгілі болсын (5.5-сурет).

Енді қиманың осы өстерге бұрышын жасайтын центрлік өстеріне қарағандағы инерция моменттерін табайық (өстердің сағат тіліне қарсы бағытта бұрылуы оң деп қабылданған).

4.5-сурет

Ол үшін -тің берілген ХО жүйеciндeгi координаттары мен жаңа Х₁ОУ₁ жүйесіндегі координаттарының арасындағы өзара байланысты анықтайық

Олай болса

(5.08)

(5.09)

(5.10)

Алынған 5.08 және 5.09 өрнектерін қоссақ екенін көреміз.

Яғни, өзара перпендикуляр өстерге қарағандағы инерция моменттерінің қосындысы, осы өстерді кез келген біp бұрышқа бұрғаннан өзгермей, тұрақты болып қалады.

Енді, өстік инерция моменттерінің айырмасын қарастырсақ

өзара перпендикуляр өстерге қарағандағы өстік инерция моменттерінің айырмасы, осы өстерге қарағандағы центрден тепкіш инерция моментінің шамасына тең екенін көреміз.

2. Сұрақ

Байланыстар мен олардың реакциялары. Механикада еркін және еркін емес денелер қарастырылады. Кеңістіктегі кез келген бағытта қозғала алатын дене еркін дене деп аталады. Егер дененің кеңістіктегі қозғалысы қандай да бір басқа денемен шектелген болса, онда ол еркін емес денедеп аталады. Берілген дененің қозғалысын шектейтін денені байланыс деп атайды. Дененің байланысқа әсер ететін күшін қысым күшідеп атайды, ал байланыстың денеге әсер күшін байланыс реакциясы немесе жай ғанареакциядейді. Өзара әсер заңы негізінде, бұл күштер бір түзудің бойымен қарама-қарсы бағыттала әсер ететін күштер. Сонымен қатар бұлар әр денеге түскендіктен күштер жиынын құра алмайды.

Денеге әсер ететін күштер актив және реактив күштер болып екіге бөлінеді. Тыныштықтағы денені қандай да бір қозғалысқа келтіре алатын күшті актив күш деп атаса, осы қозғалысқа кедергі болатын күшті реактив күш деп атайды. Актив күштердің модульдері мен бағыттары алдын ала беріледі және денеге әсер ететін басқа күштерге тәуелсіз болады, ал реактивті күштердің шамалары мен бағыттары көп жағдайда алдын ала белгісіз және денеге әсер етуші актив күштерге тәуелді болады. Актив күшті жиірек жүктеме деп атайды.

Статиканың көптеген есептерін шешкенде еркін емес денені еркін дене ретінде қарастырады. Ол мүмкіндік байланыстар аксиомасы немесе дененің босану ережесіне негізделген. Бұл аксиома былай тұжырымдалған: байланыстарды алып тастап, оларды реакциялармен алмастыру арқылы кез келген еркін емес дене актив және реактив күштер әсеріндегі еркін дене ретінде қарастыруға болады.

Реакциялардың модульдері мен бағыттары алдын ала белгісіз, модульдері актив күштердің модульдеріне тәуелді болса, бағыттары дененің қандай бағыттағы мүмкіндік қозғалысын байланыстардың шектейтініне байланысты.

Енді конструкцияларда кездесетін байланыстардың негізгі түрлеріне тоқталып, олардың реакцияларының мүмкін болатын бағыттарын көрсетейік.

1) Идеал жылтыр бет. Идеал жылтыр беттің реакциясы әр уақытта да жанасушы беттерге ортақ нормаль бойымен бағытталады (I.1.14, а - сурет).

2) Иілгіш байланыс. Мұндай байланысқа абсолют созылмайтын және салмақсыз деп құрастырылатын жіп, арқан және шынжыр жатады. Иілгіш байланыстар тек созылған жағдайда ғана жұмыс істейді, сондықтан реакциялары олардың бойымен байланыстардың ілінген нүктелеріне қарай бағытталады (I.1.14, b, c - сурет).

3) Жылжымалы топсалы тірек. Жылжымалы топса дененің тіреу жазықтығымен қозғалыс жасауына кедергі келтірмейді де, оған перпендикуляр бағыттағы қозғалысын шектейді. Сондықтан да оның реакциясы әрдайым тіреу жазықтығына перпендикуляр бағытталады (I.1.15, а, b - сурет).

4) Жылжымайтын топсалы тірек. Мұндай тірек денеге топсаны емін- еркін айнала қозғалуына мүмкіндік береді де, оның топса өсіне перпендикуляр кез келген бағыттағы ілгерлемелі қозғалысын шектейді (I.1.16, а – сурет).

Демек, жүктелген дененің топса өсіне перпендикуляр жазықтықта қандай бағытта тірекке әсер ететіні алдын-ала белгісіз. Сөйтіп, реакциясы бұл жазықтықта кез келген бағытта болуы мүмкін (I.1.16, а -сурет) Бағыты да, шамасы да белгісіз, толық реакцияның орнына әдетте оның координаталық өстердегі проекциялары анықталады. Егер және проекциялары белгілі болса, онда толық реакцияның шамасы мен бағытын 4-аксиома бойынша анықтауға болады. I.1.16, b, c - суреттерде жылжымайтын топсалы тіректің шартты кескіндеулері көрсетілген

5) Жылжымайтын сфералық топсалы тірек. Бұл топса денеге кеңістікте әсер ететін жағдайда пайдаланылады. Сфералық топса дененің бір нүктесін қозғалмайтын етіп бекітеді. Дене осы бекітілген нүктесі арқылы өтетін өспен айнала алады. Қозғалмайтын нүктедегі реакция кеңістікте кез келген бағытта болуы мүмкін. Сондықтан да ол өзінің проекциялары арқылы ізделінеді (I.1.17, а - сурет)

6) Жылжымайтын өкшелі тірек. Бұл тірек цилиндрлік топса мен жазықтық беттің байланысынан болады. Реакцияның бағыты да, шамасы да алдын-ала белгісіз, оның орны мен шамасы координаталық өстердегі жіктеулері арқылы анықталады (I.1.17, b - сурет).

7) Қатаң байланыс. Бұл тірек өзіне бекітілген дененің екі (жазық және тік) бағытта қозғалуына және дененің тірекке қарағанда бұрылуына мүмкіндік бермейді (I.1.18, а - сурет). Қатаң тіректің шартты кескіндеуі I.1.18, b, c - суретте көрсетілген. Мұндай тіректің үш реакциясы бар: тік бағыттағы жазық бағыттағы және момент . Бұл реакциялардың бағыттары мен шамалары алдын-ала белгісіз болады.

8) Қатаң стержень немесе стерженьді байланыс. Мұндай байланыс ұштарында топсасы бар, салмақсыз түзу стерженьмен жүзеге асырылады және сыртқы күш тек оның ұштарына түсетін болса, оның реакциялары тек стержень бойымен бағытталады (I.1.19 - сурет)

10- билет

1. Сұрақ

Бір нүктеге түсірілген күштерді қосудың геометриялық әдісі. Әсер сызықтары бір нүктеде қиылысатын күштер жиыны жинақталатын күштер жиыны деп аталады. Берілген барлық күштердің әсер сызықтары бір жазықта жатса, онда күштер жүйесін жазық жинақталатын күштер жиыны деп, ал ол күштердің әсер сызықтары әр түрлі жазықтықта жатса, кеңістіктегі жинақталатын күштер жиыны деп атайды.

Күшті оның әсер сызығы бойымен сырғытуға болады, сондықтан әсер сызықтары қиылысатын нүктеге жинақталатын күштерді әрдайым көшіруге болады.

Теорема.Жазық жинақталатын күштер жиынының тең әсерлі күші сол күштердің векторлық қосындысына тең, оның әсер сызығы күштер жинақталатын нүктеден өтеді

Жинақталған күштердің тең әсерлі күшін анықтаудың қарастырылған әдісін геометриялық әдіс деп атайды.

2. Сұрақ

Екпіннің бас өстері мен бас моменттері Жоғарғы өрнектер бұрылған өстерге қарағандағы екпін моменттерінің шамалары бұрылу бұрышына тәуелділігін көрсетеді, яғни бұрылу бұрышының қандай да бір мәнінде бұрылған өстерге қарағандағы екпін моменттері экстремальді мәндеріне жетуі мүмкін. Осы бұрыштың мәнін анықтап көрейік. Ол үшін (I.2.55) немесе (I.2.56) өрнегінен бір рет туынды алып, оны нөлге теңестірейік

немесе

бұдан . Бұл формула бойынша бұрыштың екі мәні бар бірі - , екіншісі - .

Осыдан мынадай тұжырымдама жасауға болады: екпін моменттері экстремальді мәндеріне орны (I.2.59) өрнегімен анықталатын, өзара перпендикуляр, екі өске қарағанда ие болады. Бұл өстерді бас екпін өстері деп, ал осы өстерге қарағандағы өстік екпін моменттерін бас екпін моменттері деп атайды. Бас екпін өстеріне қарағандағы центрден тепкіш екпін моменті нөлге тең. Бас екпін өстерін деп белгілеу қабылданған.

Егер (I.2.59) формуласынан анықталған бұрыш болса, бас екпін өстері алғашқы өстеріне қарағанда сағат тілінің жүрісіне қарама-қарсы бағытта бұрылады, ал болса, сағат тілінің жүрісі бағытымен бұрылады.

Енді бас екпін моменттері мәндерінің анықталу жолын қарастырайық. Ол үшін, (I/2.55) және (I.2.56) өрнектеріндегі - ның орнына -ді қойып, бас екпін моменттерін анықтайтын өрнектер аламыз

Белгілі тригонометриялық функцияларды пайдалана отырып, бас екпін моменттерін анықтайтын (I.2.60) формулаларын келесі түрге келтіруге болады

.

Егер болса, максимум өсі өсіне, ал болса, максимум өсі өсіне жақын орналасады, яғни егер болса, , ал болса, .

Өстік екпін моменті мен қима ауданының арасындағы тәуелділікті көрсететін шама

қиманың екпін радиусы деп аталады, өлшем бірлігі - ендік бірлік

11- билет

1. Сұрақ

Еркін жазық күштер жүйесін берілген нүктеге келтіру. {F₁, F₂, …, F_n} жазық күштер жүйесі берілген делік және оның құраушы күштері бір біріне параллель емес және олардың әсер ету сызықтары бір нүктеде қиылыспайды.

Күш жазықығында таңдап алынған кез келген О келтіру нүктесіне барлық күштерді өзіне өзі параллль көшіріп, тіркеме n қос күштерді түсіреміз. Бұл қос күштердің моменті берілген күштердің О келтіру нүктесіне қарағандағы моменттеріне тең. Берілген еркін бағытталған жазық күштер жүйесінің орнына келтіру нүктесіне түсірілген n жинақталған күштер жүйесі мен моменті берілген күштердің моментіне тең тіркеме қос күштер жүйесін аламыз.

F₁’=F₁, F₂= F₂’… F_n’= F_n.

M₁=M_O(F₁), M₂=M_O(F₂) … M_n=M_O(F_n)

Жаңадан алынған жүйе берілген күштер жүйесіне эквивалиентті. Жинақталған күштер жүйесінің векторлық қосындысын анықтап, келтірілген күштердің тепе теңдік күшін аламыз

R=F₁+F₂+…+F_n.

Сонымен, берілген күшьер жүйесінің векторлық қосындысына тең R күшін күштер жүйесінің бас векторы деп атаймыз. Тіркеме қос күштердің моменттерінің алгебралық қосындысын есептеп, олардың тең әсерлі қос күшінің моментін анықтаймыз

M^*= M₁+M₂+…+M_n.

Берілген күштердің келтіру нүктесіне қарағандағы моменттерінің алгебралық қосындысы бас момент деп аталады.

Бас вектор берілген жаөық күштер жүйесінің тең әсерлі күші емес, өйткені ол берілген жүйені тек тіркеме бас моментпен бірге алмастыра алады.

Қасиеттері: 1. Берілген күштер жүйесінің бас векторының модулі мен бағыты келіру нүктесінің орнына тәуелсіз. 2. Жалпы жағдайда бас моменттің шамасы мен таңбасы келтіру нүктесінің орнына тәуелді.

2. Сұрақ

Ығысу. Ығысу кезіндегі беріктік шарт.

Жүктелген дененің көлденең қимасында ішкі күш әсерінен тек жанама күшәсерлерінен тек жанама күш Q туындайтын деформацияны ығысу деп атаймыз. Нүктенің жанынан тек жанама кернеу әсер ететін өзара перпендикуляр екі алаң бөліп алуға болады. Нүктенің бұл жазық кернеулі күйін таза ығысу деп атаймыз.

Ығысу деформацияға алып келеді. Ығысу деформациясының дәрежесін тек қана абсолют ығысу жазықтықтарының арақашықтығына қатынаста сипаттауы мүмкін.

АВВ₁ үшбұрышынан tgƔ=BB₁/AB=∆s/a

Деформацияның серпімді түрде өтуіне байланысты Ɣ бұрышының шамасы өте аз, сондықтан tgƔ=Ɣ=∆s/a. Сонымен ығысу деформациясының мөлшері Ɣ бұрышпен анықталады. Бұл бұрыш салыстырмалы ығысу немесе ығысу бұрышы деп аталады.

Тойтармаларды, бұрандамаларды, шпогкаларды, пісірілген жікттерді және т б қосу элементерін кесілуге есептеу үшін құрылымға әсер ететін сыртқы күш қосу элементтеріне бірдей таралады деп қарастырылады. Ығысудың беріктік шарты келесі түрде жазылады. τ=F/A_s< τ^s_adm nemese τ=F/A_S<R_b*γ_b

Мұндағы A_s – кесілу қимасының ауданы, τ^s_adm – кесілу мүмкндік кернеуі, R_b – кесілудің есептемелік қарсыласуы, γ_b – қосылыстың жұмыстық жағдайының есептемелік коэф., оның мәні мына аралықта өзгереді 0,75< γ_b<1,0. Кесілу қимасының ауданы былайша есептеледі A_S=An_sn, мұндағы A=πd²/4 бұрандаманың немесе тойтарманың есептік ауданы, d – тойтарманың диаметрі немесе бұрандаманың сыртқы диаметрі, n_s – бір бұрандаманың немесе тойтарманың кесілу саны, n – қосылыстағы бұрандаманың немесе тойтарманың саны.

Бұл формуланы түрлендіру арқылы беріктік есептеуінің 3 формуласын аламыз:

1. A_s =F/ < τ^s_adm немесе A_S =F/R_b*γ_b;

2. τ=F/A_s< τ^s_adm немесе τ=F/A_S<R_b*γ_b;

3. F_мах=A_s*τ^s_adm немесе F_мах = A_S*R_b*γ_b.

12- билет

1. Сұрақ

Ішкі күштер. Қию әдісі. Жоғарыда айтылғандай, сыртқы күш әсерінен денелер деформацияланады. Денелердің атомнан тұратыны, ал атомдар ӛзара атомдық күшпен байланысып тепе – теңдік күйде болатыны физика курсынан мәлім. Дене деформацияланған кезде атомдардың ара қашықтығы ӛзгереді. Осының салдарынан атомдық күш қандай да бір қосымша әсерлесу күшіне – серпімді күшке ӛзгереді. Қосымша күш атомдарды алғашқы күйіне келтіруге тырысады. Бұл атомдардың қосымша ӛзара әсерлесу күші материалдар кедергісі ғылымында ішкі күш деп аталады. Ол конструкция элементтерінің сыртқы күш әсеріне қарсыласу қабілеттігін кӛрсетеді. Сонымен, ішкі күштің ӛзгеру мӛлшері, сыртқы күштің ӛзгеру мӛлшерімен тең болғанда ғана, конструкция элементтері жұмыс істеу қабілеті мен тепе–теңдік күйін сақтай алады.

Сыртқы күштердің ұлғайуымен ішкі күштердің де ӛсетіні, әрине, айқын. Бірақ ішкі күштердің шексіз ұлғайуы мүмкін емес, қандай да бір мезетте белгісіз бір нүктенің тӛңірегінде сыртқы күштерді теңестіре алмауы мүмкін. Бұл күштердің ӛзара теңсіздігі конструкцияның қирап сынуына немесе орнықтылығын жоғалтуына әкеліп соқтыратыны мәлім. Сондықтан да, ішкі күштің шамасын білмей, машиналар мен конструкциялардың беріктігін бағалау мүмкін емес.

Ішкі күштерді табу үшін, қию әдісі қолданылады. Бұл әдіс «Дене тепе–теңдік күйде тұрса, онда оның кез келген бӛлігі де тепе–теңдік күйде болады» деген механика заңдылығына негізделген.

2. Сұрақ

Жазық күштер жүйесінің тең әсерлі күші. Вариньон теоремасы.Қандай да бір екпін бағытталған {F1 ,F2 ,…Fn } жазық күштер жүйесінің бас векторы R* мен бас моменті М* берілген делік Осы жүйенің { R*, М*} тең әсерлі күшін анықтайық. М* бас моменті (R,R`) қос күшімен алмастырайық , мұнда R=R`=R* , М*=M(R,R`) . Қос күштің иіні d= М*/ R*. Ал О нүктесіндегі R* пен R` күштері теңестірілген күштер, яғни ( R* ,R`)~0 , олай болса, келтіру нүктесінен d аралықтағы нүктеге түсірілген R – тең әсерлі күші ғана қалады. d= М*/ R. Сонымен, бас вектор мен бас моменттің тең әсерлі күші анықталады.Сәйкес күштердің тең әсерлі күші мен моменттің арасындағы тәуелділік жөніндегі теореманы француз ғалымы Вариньонның есімімен – Вариньон теоремасы деп аталады. Теорема. Кез келген жазық күштер жүйесінің қандай да бір келтіру нүктесіне қатысты алынған жүйенің құрама күштер моменттерінің албегралық қосындысына тең.

13- билет

1-сұрақ

Параллель өстерге қарағандағы екпін (инерция) моменттерінің байланысы.

Бұл тәуелділікті анықтау үшін ауданы А қиманы қарасиырайық. Қиманың ауырлық центрінен өзара перпендикуляр z_c, y_c өстері жүргізілген. Ауырлық центрден өтетеін өстерді центрлік өстер деп, ал центрлік өстерге қатысты екпін моменттерін центрлік екпін моменттері деп атаймыз.

Қиманың центрлік екпін моменттері берілген деп қарастырып, центрлік өстерге параллель z, y өстеріне қатысты екпін моменттерінің шамаларын анықтайық.

Бөлініп алынған шексіз кіші dA ауданының z_cC y_c жүйесіндегі координаттары z_c, y_c, ал zOy жүйесіндегі координаттары z= z_c+b, y= y_c+a болсын. Онда анықтама б/ша қиманың z өсіне қатысты екпін моменті

I_z=

Анықтама б/ша мұндағы

; ;

және центрлік өске қатысты қиманың статикалық моменті нөлге тең, олай болса

I_z= +a²A.

Дәл осылай I_y және I_zc анықталады, сонымен

I_z= I_zc+ ; I_y= +b²A; I_zy= +abA

Яғни, қиманың кез келген центрлік өсіне параллель өске қатысты өстік екпін моменті, центрлік екпін моментіне қиманың ауданын осы өстердің ара қашықтығының квадратына көбейтіп қосқанға тең, ал центрден тепкіш екпін моменті, центрлік өстерге қатысты центнрден тепкіш екпін моментіне қиманың ауданын осы өстердің ара қашықтарына көбейтіп қосқанға тең.

2-сұрақ