31) Геометрические свойства кривых второго порядка

Уравнение

задаёт на плоскости множество точек, называемое кривой второго порядка

кривые второго порядка и их вырождения имеют одинаковое “происхождение”: они являются сечениями плоскостью поверхности конуса, если этот конус мыслить неограниченно продолженным в обе стороны от вершины

Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом:

Выберем на плоскости точку   и прямую   и зададим вещественное число  . Тогда геометрическое место точек  , для которых отношение расстояний до точки   и до прямой   равно   раз, является коническим сечением. То есть, если   естьпроекция   на   то

Точка   называется фокусом конического сечения.

Прямая   называется директрисой, число   — эксцентриситетом.

Параллельный сдвиг координатных осей

     Поворот координатных осей

Ненулевой вектор pназывается собственным вектором квадратной матрицы A , если линейное

преобразование с матрицей A переводит вектор p

в коллинеарный ему вектор h p. Число h называется

собственным числом (характеристическим числом, собственным значением) матрицы A , соответствующим

собственному вектору p

32) F(x, y, z) = 0 Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.

Поверхности определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений:

Если функция   непрерывна в некоторой точке и имеет в ней непрерывные частные производные, по крайней мере одна из которых не обращается в нуль, то в окрестности этой точки поверхность, заданная уравнением (1), будет правильной поверхностью.

Помимо указанного выше неявного способа задания поверхность может быть определена явно, если одну из переменных, например z, можно выразить через остальные:

Также существует параметрический способ задания. В этом случае поверхность определяется системой уравнений:

[Править]Понятие о простой поверхности

Общее уравнение плоскости

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными х, у и z:

      (12.4)Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С не равен нулю, например  , перепишем уравнение (12.4) в виде

   (12.5)

Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением (12.3), видим, что уравнения (12.4) и (12.5) являются уравнением плоскости с нормальным вектором  , проходящей через точку  .

Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат Oxyz некоторую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1.  Если D = 0, то оно принимает вид   . Этому уравнению удовлетворяет точка  . Следовательно, в этом случае плос­кость проходит через начало координат.2.  Если С = 0, то имеем уравнение  . Нормальный вектор   перпендикулярен оси Οz. Следовательно, плоскость параллельна оси Οz; если B = 0 — параллельна оси Оу, А = 0 — параллельна оси Ох.3.  Если С = D = 0, то плоскость проходит через   параллельно оси Οz, т. е. плоскость  проходит через ось Οz. Аналогично, уравнениям   и   отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси Ох и Оу.

4.  Если А = В = 0, то уравнение (12.4) принимает вид  , т. е.   Плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично, уравнениям   и   отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Oyz и Οxz.

5.  Если A = B = D = 0, то уравнение (12.4) примет вид  , т. е. z = 0. Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: у = 0 — уравнение плоскости Οxz; x = О — уравнение плоскости Oyz.

33) Каноническое уравнение прямой в пространстве

Пусть прямая проходит через точку M₁ (x₁, y₁, z₁) и параллельна вектору  (m ,n, l). Составим уравнение этой прямой.

Возьмем произвольную точку M (x, y, z) на этой прямой и найдем зависимость между x, y, z. Построим вектор

.Векторы   и   коллинеарны.

 - каноническое уравнение прямой в пространстве.

Общие уравнения прямой в пространстве

Линия в трехмерном пространстве определяется, вообще говоря, пересечением двух поверхностей, т.е. описывается системой двух уравнений.

Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей и, следовательно, описывать системой двух линейных уравнений

	  	A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0

при условии, что эти плоскости непараллельны, т.е. их нормальные векторы

N1= {A₁, B₁, C₁} и N2= {A₂, B₂, C₂} неколлинеарны. Эта система уравнений называетсяобщими уравнениями прямой в пространстве.

34) Прямая и плоскость в пространство могут:а) не иметь общих точек;б) иметь ровно одну общую точку;в) иметь хотя бы две общие точки.

В случае а) прямая b параллельна плоскостиб) прямая l пересекает плоскость  в одной точке О; в) прямая а принадлежит плоскости 

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые. Доказательство: Действительно, пусть a и b – данные скрещивающиеся прямые. Проведем через них параллельные плоскости α и β. Прямые, пересекающие прямую а и перпендикулярные плоскости α, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскость β по прямой a’,параллельной а. Пусть В – точка пересечения прямых a’ и b. Тогда прямая АВ, перпендикулярная плоскости α, перпендикулярна и плоскости β, то есть, β параллельна α. Отрезок АВ – общий перпендикуляр плоскостей α и β, а значит и прямых а и b. Теперь докажем, что этот перпендикуляр единственный. Допустим, что у прямых a и b есть другой общий перпендикуляр СD. Проведем через точку С прямую b’ параллельную b. Прямая СD перпендикулярна прямой b, а значит и b’.Так как она перпендикулярна прямой а, то она перпендикулярна плоскости α, а значит параллельна АВ. Выходит, что через прямые АВ и СD, как через параллельные, можно провести плоскость. В этой плоскости будут лежать наши скрещивающиеся прямые АС и ВD, а это невозможно, что и требовалось доказать.

35) Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

Эллипсоид.

Рассмотрим сечение поверхности с плоскостями, параллельными xOy. Уравнения таких плоскостей z=h, где h – любое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя уравнениями:

Если |h|>c, c>0, то точек пересечения поверхности с плоскостями z=h нет.

Если |h|=c, т.е. h=±c, то . Линия пересечения вырождается в две точки (0;0;с) и (0;0;-с). Плоскости z=c и z=–c касаются поверхности.

Если |h|<c, то уравнения можно переписать в виде:

Линия пересечения есть эллипс с полуосями.

Эллипсоид – замкнутая овальная поверхность, где a,b,с – полуоси. Если все они различны, то эллипсоид называется трехосным. Если какие-либо две полуоси равны, то тело называется эллипсоид вращения, если a=b=c, то тело называется сферой x²+y²+z²=R²

Параболоиды.

Эллиптический.

При пересечении поверхности координатами плоскостями Oxz и Oyz получается соответственно параболы и . Таким образом, поверхность, определяемая уравнением, имеет вид выпуклой, бесконечно расширяющейся чаши.

Гиперболический.

Рассечем поверхность плоскостями z=h. Получим кривую

которая при всех h≠0 является гиперболой. При h>0 ее действительные оси параллельны оси Ox, при h<0 – параллельные оси Oy. При h=0 линия пересечения распадается на пару пересекающихся прямых:

При пересечении поверхности плоскостями, параллельности плоскости Oxz (y=h), будут получаться параболы, ветви которых направлены вверх.

Для выяснения формы поверхности в пространстве по ее уравнению

Ψ(x, y, z) = 0

часто используют так называемый метод сечений. Он состоит в анализе пересечений по-

верхности с плоскостями, параллельными координатным плоскостям, например с плоскостями

вида z = c, где параметр c пробегает все действительные значения. Для каждого значения c

система уравнений

Ψ(x, y, z) = 0,

z = c

задает соответствующее пересечение. Критерием принадлежности точки M(x; y; z) этому пе-

ресечению являются следующие условия: а) z = c; б) координаты x и y ее проекции на

координатную плоскость xOy, т.е. координаты точки N(x; y; 0), удовлетворяют уравнению

Ψ(x, y, c) = 0.

Зная эти пересечения, т.е. кривые, можно представить форму поверхности.

36) При вращении гиперболы вокруг одной из ее осей симметрии получается поверхность, назы-

ваемая гиперболоидом.

Однополостный гиперболоид.

Пересекая поверхность плоскостью z=h, получим линию пересечения, уравнения которой имеют вид.

Полуоси достигают своего наименьшего значения при h=0, a₁=a, b₁=b. При возрастании |h| полуоси будут увеличиваться.

Если пересекать поверхность плоскостями x=h или y=h, то в сечении получим гиперболы. Найдем линию пересечения поверхности с плоскостью Oyx, уравнение которой x=0. Эта линия пересечения описывается уравнениями:

Поверхность имеет форму бесконечно расширяющейся трубки и называется однополостным гиперболоидом.

Двуполостный гиперболоид.

Если поверхность пересечь плоскостями z=h, то линия пересечение уравнениями

Если |h|<c, то плоскости z=h не пересекаются.

Если |h|=c, то плоскости h=±c касаются данной поверхности соответственно в точках (0;0;с) и (0;0;-с).

Если |h|>c, то уравнения можно переписать в виде:

Эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ростом |h|.

У обеих гипербол действительной осью является ось oz. Метод сечения позволяет изобразить поверхность, состоящую из двух полостей, имеющих форму

двух неограниченных чаш. Поверхность называется двуполостным гиперболоидом.

37) Конусы и цилиндры.

Конус.

Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку Р и пересекающими данную плоскую линию L (не проходящую через Р) называется конической поверхностью или конусом. При этом линия L называется направляющей конуса, точка Р – ее вершиной, а прямая, описывающая поверхность, называется образующей.

- уравнение конуса

Цилиндр.

Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую К, называется цилиндром. При этом кривая К называется направляющей цилиндра, а прямая L – образующая.

- уравнение цилиндра

1) Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ

1. Аналитический способ: функция задается с помощью

математической формулы.