График функции

Выполним чертеж:

Основные свойства функции  :

Область определения: .

Область значений:  .

То есть, график функции полностью находится в первой координатной четверти.

Функция   не ограничена сверху. Или с помощью предела: 

При построении простейших графиков с корнями также уместен поточечный способ построения, при этом выгодно подбирать такие значения «икс», чтобы корень извлекался нацело:

На самом деле хочется разобрать еще примеры с корнями, например,  , но они встречаются значительно реже. Я ориентируюсь на более распространенные случаи, и, как показывает практика, что-нибудь вроде   приходиться строить значительно чаще. Если возникнет необходимость выяснить, как выглядят графики с другими корнями, то, рекомендую заглянуть в школьный учебник или математический справочник.

График гиперболы

Опять же вспоминаем тривиальную «школьную» гиперболу  .

Выполним чертеж: Основные свойства функции  :

Область определения: .

Область значений:  .

Запись   обозначает: «любое действительное число, исключая ноль»

В точке   функция терпит бесконечный разрыв. Или с помощью одностороннихпределов:  ,  . Немного поговорим об односторонних пределах. Запись   обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси   к нулю слева. Как при этом ведёт себя график? Он уходит вниз на минус бесконечность, бесконечно близко приближаясь к оси  . Именно этот факт и записывается пределом  . Аналогично, запись   обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси   к нулю справа.  При этом ветвь гиперболы уходит вверх на плюс бесконечность,бесконечно близко приближаясь к оси  . Или коротко:  .

Такая прямая (к которой бесконечно близко приближается график какой-либо функции) называется асимптотой.

В данном случае ось   является вертикальной асимптотой для графика гиперболы при  .

Будет грубой ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой.

Также односторонние пределы  ,   говорят нам о том, что гипербола не ограничена сверху и не ограничена снизу.

Исследуем функцию на бесконечности:  , то есть, если мы начнем уходить  по оси   влево (или вправо) на бесконечность, то  «игреки» стройным  шагом будут бесконечно близко приближаться к нулю, и, соответственно, ветви гиперболы бесконечно близкоприближаться к оси  .

Таким образом, ось   является горизонтальной асимптотой для графика функции , если «икс» стремится к плюс или минус бесконечности.

Функция   является нечётной, а, значит, гипербола симметрична относительно начала координат. Данный факт очевиден из чертежа, кроме того, легко проверяется аналитически:  .

График функции вида   ( ) представляют собой две ветви гиперболы.

Если  , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях(см. рисунок выше).

Если  , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях.

Пример 3

Построить правую ветвь гиперболы 

Используем поточечный метод построения, при этом, значения   выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело:

Выполним чертеж:

Не составит труда построить и левую ветвь гиперболы, здесь как раз поможет нечетность функции. Грубо говоря, в таблице поточечного построения мысленно добавляем к каждому числу минус, ставим соответствующие точки и прочерчиваем вторую ветвь.

График показательной функции

В данном параграфе я сразу рассмотрю экспоненциальную функцию  , поскольку в задачах высшей математики в 95% случаев встречается именно экспонента.

Напоминаю, что   – это иррациональное число:  , это потребуется при построении графика, который, собственно, я без церемоний и построю. Трёх точек, пожалуй, хватит:

График функции   пока оставим в покое, о нём позже.

Основные свойства функции  :

Область определения:  – любое «икс».

Область значений:  . Обратите внимание, что ноль не включается в область значений. Экспонента – функция положительная, то есть для любого «икс» справедливо неравенство  , а сам график экспоненты полностью расположен в верхней полуплоскости.

Функция не ограничена сверху:  , то есть, если мы начнем уходить по оси   вправо на плюс бесконечность, то соответствующие значения «игрек» стройным шагом будут тоже уходить вверх на   по оси   . Кстати, график экспоненциальной функции будет «взмывать» вверх на бесконечность очень быстро и круто, уже при    

Исследуем поведение функции на минус бесконечности:  . Таким образом, ось   является горизонтальной асимптотой для графика функции , если  . Принципиально такой же вид имеет любая показательная функция  , если  . Функции  ,  ,   будут отличаться только крутизной наклона графика, причем, чем больше основание, тем круче будет график.

Обратите внимание, что во всех случаях графики проходят через точку  , то есть  .Это значение должен знать даже «двоечник».

Теперь рассмотрим случай, когда основание  . Снова пример с экспонентой   – на чертеже соответствующий график прочерчен малиновым цветом? Что произошло? Ничего особенного – та же самая экспонента, только она «развернулась в другую сторону». Принципиально так же выглядят графики функций  ,   и т. д. Должен сказать, что второй случай встречается на практике реже, но он встречается, поэтому я счел нужным включить его в данную статью.

График логарифмической функции

Рассмотрим функцию с натуральным логарифмом  . Выполним поточечный чертеж:

Если позабылось, что такое логарифм, отсылаю вас к школьным учебникам, академик Холмогоров свой хлеб все-таки не зря ест.

Основные свойства функции  :

Область определения:

Область значений:  .

Функция не ограничена сверху:  , пусть и медленно, но ветка логарифма уходит вверх на бесконечность. Исследуем поведение функции вблизи нуля справа:  . Таким образом, ось   является вертикальной  асимптотой для графика функции  при «икс» стремящемся к нулю справа.

Обязательно нужно знать и помнить типовое значение логарифма:  .

Принципиально так же выглядит график логарифма при основании  :  ,  ,   (десятичный логарифм по основанию 10) и т.д. При этом, чем больше основание, тем более пологим будет график.

Случай   рассматривать не будем, что-то я не припомню, когда последний раз строил график с таким основанием. Да и логарифм вроде   в задачах высшей математики ооочень редкий гость.

В заключение параграфа скажу еще об одном факте: Экспоненциальная функция   и логарифмическая функция   – это две взаимно обратные функции. Если присмотреться к графику логарифма, то можно увидеть, что это – та же самая экспонента, просто она расположена немного по-другому.