13. Система линейных уравнений. Матрица системы. Векторная запись системы.

14. Правило Крамера.

Теорема 15.1   (Правило Крамера) Если в системе   линейных уравнений с   неизвестными   , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами

        Доказательство.     По теореме 14.1 обратная матрица находится по формуле

где   -- алгебраические дополнения. Тогда из (15.3) следует, что

Заметим, что по формуле (14.13) разложение определителя   по первому столбцу в точности совпадает с первым элементом матрицы-столбца в правой части последнего равенства, разложение определителя   по второму столбцу дает второй элемент матрицы-столбца и т.д. Поэтому   , откуда и следует утверждение теоремы.

15. Однородная система линейных уравнений. Существование ненулевого решения.

Свойства решений.

Теорема 1. Линейная комбинация решений однородной системы (1) является решением системы (1).

Доказательство. Пусть  ,   и   - решения однородной системы (1). Рассмотрим  , где  ,   и   - некоторые произвольные числа. Так как  ,   и   являются решениями, то  ,   и  . Найдем  .

.

 является решением системы (1).

Теорема 2. Разность двух решений неоднородной системы (2) является решением однородной системы (1).

Доказательство. Пусть   и   - решения системы (2). Рассмотрим  .

,  .

.

 является решением однородной системы (1).

Теорема 3. Сумма решения однородной системы (1) с решением неоднородной системы (8.2) есть решение неоднородной системы (2).

Пусть - решение системы (1),   - решение системы (2). Покажем, что   - решение системы (2).

Доказательство.   ,  .

.

 является решением неоднородной системы (2).

16. Фундаментальная система решений.

Фундаментальная система решений представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Совокупность n-r линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений. Любое решение системы линейно выражается через фундаментальную систему. Таким образом, если ранг r матрицы A однородной линейной системы Ax=0  меньше числа неизвестных n и векторы e₁ , e₂ , ..., e_n-r  образуют ее фундаментальную систему решений (Ae_i =0, i=1,2, ..., n-r), то любое решение x системы Ax=0 можно записать в виде

x=c₁ e₁ + c₂ e₂ +  ... + c_n-r e_n-r ,

где c₁ , c₂ , ..., c_n-r — произвольные постоянные. Записанное выражение называется общим решением однородной системы.

17. Ранг матрицы. Лемма о базисном миноре.

18. Теорема о ранге матрицы (Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов или строк).

Теорема 4.1. Строки и столбцы матрицы, элементы которых входят в базисный минор, линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией этих строк (столбцов).

Доказательство (для строк).

1. Если бы базисные строки были линейно зависимыми, то с помощью эквивалентных преобразований из них можно было бы получить нулевую строку, что противоречит условию, что базисный минор не равен 0.

2. Строка, входящая в базисный минор, является линейной комбинацией его строк, в которой коэффициент при данной строке равен 1, а остальные коэффициенты равны 0.

Докажем это свойство для строки, не входящей в базисный минор.

Добавим к базисному минору эту строку (пусть ее номер – k) и любой столбец матрицы (пусть его номер – j). Затем разложим полученный определитель, равный 0 (так как его порядок больше ранга матрицы) по j-му столбцу:

Поскольку является базисным минором, поэтому, разделив полученное равенство на , найдем, что

для всех j=1,2,…,n, где . Следовательно, выбранная строка является линейной комбинацией базисных строк. Теорема доказана.