Вопрос№24 Приращение ф-ии. Признак непрерывности ф-ии в точке.

Пусть y=f(x) и y₀=f(x₀). Тогда y=y-y₀ =f(x)-f(x₀) наз приращением ф-ии.

О: Ф-ия y=f(x) наз непрерывной в т.x₀ если БМ приращению аргумента соответствует БМ приращение ф-ии. Т.е.

Докажем эквивалентность этих о-ий: Пусть y=f(x) непрерывна в т.x₀ тогда согласно 1ому о-ию выполняется равенство

Вопрос№25 Теоремы о ф-ии непрерывной на замкнутом промежутке.

О: Ф-ия f(x) наз ограниченной на [a;b], если

1ая Теорема Веерштрасса: Всякая непрерывная на отрезке [a;b] ф-ия ограничена на этом отрезке. Без док-ва.

2ая Теорема Веерштрасса: Если ф-ия непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.

Непрерывная на [a;b] y=f(x) достигает наибольшего значения в т.х₁ и наибольшего в т.х₂, значит все значения заключены между m и М

3.Теорема(о промежуточном значении): Если ф-ия непрерывна на [a;b] и на его концах принимает значение разных знаков, то внутри отрезка [a;b] найдется хотя бы одна т.С, в которой данная ф-ия обращается в 0.

4.Теорема: если ф-ия непрерывная на [a;b] и f(a)=A, f(b)=B, то для любого числа С, А<C<B

5.Множество значений ф-ии непрерывной на отрезке есть отрезок.

Вопрос№26 о-ие производной.

Рассмотрим ф-ию y=f(x) в некотором интервале (а;b).

Рассмотрим т.х₀ и приращение аргумента х, тогда график имеет 2 точки: 1. (x₀; f(x₀)) 2.(x0+ x; f(x₀+ x)).

Проведем прямую через эти точки. Эта прямая наз секущей для графика y=f(x). Составим у-ие для секущей:

Угловой коэффициент секущей равен отношению приращения ф-ии к приращению аргумента:

О: Приозводная ф-ии y=f(x) в т.х₀ наз предел отношения приращения ф-ии к вызвавшему уме приращения аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю (при условии, что этот предел сущ-ет)

Предел отношения приращения ф-ии к приращению аргумента может:

1.Сущ-ать и быть конечным, тогда говорят в данной точке ф-ия имеет конечную производну.

2.Если этот предел сущ-ет и бесконечен, тогда говорят, что в данной точке ф-ия имеет бесконечный предел

3.Если этот предел не сущ-ет, то производной в данной точке не сущ-ет.

Вопрос№27 Геометрический смысл производной

О: Прямая y-y₀=k(x-x₀), коэффициент которой равен значению производной в точке, т.е. к=f(x₀) наз касательной к графику ф-ии в точке с координатами (x₀; f(x₀)).

Рассмотри секущую, проходящую через (x₀; f(x₀)) (x0+ x; f(x₀+ x)).

При , секущая стремится занять положение касательной, таким образом будем говорить, что касательная есть предельное положение секущей.

Геометрический смысл производной ф-ии в точке состоит в том, что она равна угловому коэффициенту, т.е. тангенсу угла касательной в точке касания.

Таким образом, у-ие касательной имеет вид

О: Пряма перпенд в точке касания наз нормлью или кривой. Найдем у-ие нормали. Т.к. нормаль перпендкасат, то угл коэф нормали равен