13. Сеток метод

собирательное название группы приближённых методов решения дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Применительно к дифференциальным уравнениям с частными производными термин «С. м.» используется в качестве синонима терминов «метод конечных разностей» и «разностный метод». С, м. — один из наиболее распространённых приближённых методов решения задач, связанных с дифференциальными уравнениями. Широкое применение С. м. объясняется его большой универсальностью и сравнительной простотой реализации на ЭВМ.

Суть С. м. состоит в следующем: область непрерывного изменения аргументов, в которой ищется решение уравнения, дополненного, если необходимо, краевыми и начальными условиями, заменяется дискретным множеством точек (узлов), называемым сеткой; вместо функций непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определяемые в узлах сетки и называемые сеточными функциями; производные, входящие в уравнение, краевые и начальные условия, аппроксимируются разностными отношениями; интегралы аппроксимируются квадратурными формулами; при этом исходное уравнение (задача) заменяется системой (линейных, если исходная задача была линейной) алгебраических уравнений (системой сеточных уравнений, а применительно к дифференциальным уравнениям — разностной схемой).

Если полученная таким образом система сеточных уравнений разрешима, по крайней мере, на достаточно мелкой сетке, т. е. сетке с густым расположением узлов, и её решение при неограниченном измельчании сетки приближается (сходится) к решению исходного уравнения (задачи), то полученное на любой фиксированной сетке решение и принимается за приближённое решение исходного уравнения (задачи).

14. Численное решение уравнения теплопроводности

Для численного решения уравнения теплопроводности в области с локальным

тепловыделением весьма эффективным является метод вложенных сеток. Этот метод

основан на дроблении ячеек базовой (крупной) сетки только в тех местах, где ожидаются

большие градиенты температур. Это позволяет более экономично распределять

вычислительные ресурсы при необходимости получения решения с требуемой точностью.

В настоящей работе разработан и протестирован алгоритм, позволяющий реализовать

процедуру дробления ячеек базовой сетки. Дискретизация двумерного уравнения

теплопроводности со вторым порядком точности осуществляется по методу контрольных

объемов [1]. Рассчитываемые значения температуры приписываются центрам ячеек.

Основная проблема, возникающая при реализации метода локального дробления сеток

заключается в необходимости передачи данных от крупных ячеек к мелким и обратно, на

каждом шаге итерации. В апробированном алгоритме работа ведется с несколькими блоками : ведущий блок - это блок, состоящей из цельных ячеек (без учета раздробленных), а каждый блок из оставшихся соответствует какой-либо раздробленной ячейке. Таким образом, задача сводится к постановке таких граничных условий на каждом из блоков, которые обеспечивали бы непрерывность потоков.