42. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла

Пусть f(x) определена на [a;b]. Разобьём [a;b]на части с несколькими произвольными точками a = x0 < x1 < x2 < xn = b Тогда говорят, что произведено разбиение RR отрезка [a;b] Далее выберем произв. точку , i = 0, Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b]называется предел интегральных сумм ΘR при , если он существует независимо от разбиения R и выбора точек ξi, т.е. (1) Если существует (1), то функция f(x) называется интегрируемой на [a;b] – определение интеграла по Риману.

a – нижний предел.

b – верхний предел.

f(x) – подынтегральная функция.

λR - длина частичного отрезка.

σR – интегральная сумма от функции f(x) на [a;b] соответствующей разбиению R.

λR - максимальная длина част. отрезка.

Пусть на отрезке [а; b] задана непрерывная функция у = ƒ(х) ≥ 0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = ƒ(х), снизу — осью Ох, сбоку — прямыми х = а и х = b, называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.

Для этого отрезок [а; b] точками а=х0, х1, ..., b=хn (х0<x1<...<xn) paзобьем на n частичных отрезков [хо;х1], [х1;х2],...,[хn-1;хn]. (см. рис. 168). В каждом частичном отрезке [xi-1;xi] (i=1,2,..., n) возьмем произвольную точку ci и вычислим значение функции в ней, т. е. ƒ(ci).

Умножим значением функции ƒ(ci) на  длину ∆xi=xi-xi-1 соответствующего частичного отрезка. Произведение ƒ(ci) • ∆xi равно площади прямоугольника с основанием ∆xi и высотой ƒ(ci). Сумма всех таких произведений

равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции:

С уменьшением всех величин Δхi точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда n неограниченно возрастает так, что λ = max∆xi →0:

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

44. Понятие о дифференциальных уравнениях

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y'(x),y''(x),...,yn(x) до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида

или ,

где  — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени , штрих означает дифференцирование по . Число называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

,

где  — независимые переменные, а  — функция этих переменных.