4.Круги Эйлера и диаграммы Венна.

Круги́ Э́йлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером.

Диаграмма Венна — схематичное изображение всех возможных пересечений нескольких (часто — трёх) множеств. Если пересечения позволяется указывать не все, получается более общий случай — круги Эйлера.

Диаграммы Эйлера — Венна (как их ещё называют) изображают все комбинаций свойств, то есть конечную булеву алгебру. При диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

Пример:

Диаграмма Венна, показывающая все пересечения греческого, русского и латинского алфавитов (буквы заглавные)

5.Уравнения с множествами.

6. Функции и отображения.

Всякое функциональное отношение можно рассматривать как функцию. При этом первая координата х упорядоченной пары (х, у) А является аргументом (переменной), а вторая у — образом (значением) функции. Обычная запись у = f(x) соответствует соотношению xfy, или (х, у) f. Следует различать функцию f как множество упорядоченных пар (отноше­ние) и значение функции у = f(x) как вторую координату одной из таких пар.

Для всякого функционального отношения А можно определить связанную с этим отношением функцию f. Но симметричное к нему отношение может и не быть функцией. Так, отношение ={( , ),( ),( ( } обратное рассмотрен­ному в (1), не является функцией.

Если функциональное отношение Aподмножество X х Y всюду определено на X, т. е. его область определения D0(A) совпадает с множеством X, то его называют отображением множества X в Y и записывают

Y

Отображение можно также рассматривать как функцию f, определенную на множестве X и принимающую значения в мно­жестве Y.

Как видно, различие между отображением и функцией сво­дится к способу определения этих отношений на множестве X, причем отображение следует рассматривать как частный случай функции. Однако большинство авторов не различают понятия ото­бражения и функции, оставляя открытым вопрос об области опре­деления. Если f — отображение или функция, то пишут f : X Y или проще х f(x).

7.Типы отображений.

Отображение — инъективно5), если из следует, что . Другими словами, отображение инъективно тогда и только тогда, когда прообраз каждого элемента состоит не более, чем из одного элемента. (рис. 7)

Отображение - сюръективно7), если для каждого существует элемент такой, что . Другими словами, сюръективно тогда и только тогда, когда каждый элемент имеет непустой прообраз. (рис. 8).

Биекция – это одновременно и сюръекция и инъекция (рис.9).

8.Операции над отображениями.

Функция f определена на множестве Х, а функция f1 определена на множестве Q является подмножеством Х, причём для каждого Х значения f и f1 совпадают, тогда функцию f1 называют сужением функции f на множестве Q. В свою очередь f называют продолжением функции f1 на множестве Х.