35. Определение производной функции.

Определение: Производной функции f(x) (f'(x₀)) в точке x₀  называется число, к которому стремится разностное отношение  , стремящемся к нулю.

Производные элементарных функций.

Геометрический смысл производной.

Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке.

Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону  x(t), то мгновенная скорость точки:

36. Касательная и нормаль к графику функции. Правила дифференцирования.

Уравнение касательной

Пусть функция задается уравнением y=f(x), нужно написать уравнение касательной в точке x0. Из определения производной: 

y/(x)=limΔx→0ΔxΔy

Δy=f(x+Δx)−f(x). 

Уравнение касательной к графику функции: y=kx+b (k,b=const). Из геометрического смысла производной: f/(x0)=tgα=k  Т.к. x0 и f(x0)∈  прямой, то уравнение касательной записывается в виде: y−f(x0)=f/(x0)(x−x0) , или

y=f/(x0)·x+f(x0)−f/(x0)·x0. 

 

 

Уравнение нормали

Нормаль -- это перпендикуляр к касательной (см. рисунок). Исходя из этого:

tgβ=tg(2π−α)=ctgα=1tgα=1f/(x0)

Т.к. угол наклона нормали -- это угол β1, то имеем:

tgβ1=tg(π−β)=−tgβ=−1f/(x).

Точка (x0,f(x0))∈  нормали, уравнение примет вид:

y−f(x0)=−1f/(x0)(x−x0).

Правила дифференцирования.

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';

2) (u+v)' = u'+v';

3) (uv)' = u'v+v'u;

4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v^2;

5) если y = f(u),

u = (x), т.е. y = f((x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций  и f, то  , или  ;

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем    ≠ 0, то  .  

37. Производные основных и элементарных функций.

Опираясь на математическое определение производной , а также на ее физический и геометрический смысл, можно найти производные всех основных элементарных функций.

Пример 1. Пусть y=f(x)=C (С – произвольная константа). Найдем производную y′ этой функции. То есть найдем производную C′ константы С.

Решение. Его можно получить тремя способами.

а) Способ 1 – геометрический.

Графиком функции y=C является горизонтальная прямая. Касательной к этой прямой, проведенной в любой ее точке, будет она сама. Ее угол наклона α к оси ох равен нулю. Ноtg0=0. Значит, согласно (1.11), y′=C′=0.

б) Способ 2 – физический.

Функция y=C от x не зависит, то есть с изменением x не меняется. А значит, скорость v(x) ее изменения равна нулю. Но ведь скорость изменения функции, согласно (1.7) – это производная функции. Таким образом, если y=C, то y′=C′=0. Физический смысл этого вывода очевиден: если координата y движущейся точки неизменна, то точка стоит. А значит, скорость ее движения равна нулю.

в) Способ 3 – математический.

Воспользуемся математическим определением производной функции:

             

Итак, разными способами получаем один и тот же вывод: если y=C, то y′=C′=0.