Задачи с использованием сложной ставки процентов

В приведенных выше задачах использовалась формула простой ставки процентов. Однако при начислении процентов на депозиты могут также использоваться сложные ставки процентов. В этих случаях проценты после очередного периода начисления, являющегося частью общего срока хранения депозита, не выплачиваются, а присоединяются к его сумме и, следовательно, на каждом последующем периоде начисления проценты будут начисляться исходя из суммы, равной первоначальной сумме депозита с начисленными за предыдущие периоды процентами.

Если проценты начисляются по сложной годовой ставке y один раз в году, их сумма в конце первого года составит следующую величину (по формуле (2).

Сумма депозита с процентами в конце первого года будет равна:

Сумма депозита с процентами в конце второго года будет равна:

и т.д.

Если срок хранения депозита m лет, то в конце срока его сумма с процентами составит:

(7)

Сумма начисленных процентов будет равна:

(8)

При сроке хранения депозита больше года начисления процентов по сложной годовой ставке дает большую сумму процентных денег, чем при их начислении по простой ставке.

Задача 1.7.

В банк "Огни Москвы" был положен депозит 8 млн. руб. на два года. Сравнить сумму начисленных процентов при простой и сложной ставках процентов, равных 17% годовых.

Решение.

1. Сумма начисленных процентов при использовании простой ставки процентов (формула (3)) будет равна:

2. Сумма начисленных процентов при использовании сложной ставки процентов (формула (8)) будет равна:

Из решения данной задачи следует, что для клиента более выгодно размещать свои средства на депозит, где процент рассчитывается по сложной ставке процента.

Задача 1.8.

Сравнить сумму полученных клиентом процентов при простой и сложной ставке процентов при обращении в банк "ЗОЛОТОЙ ВЕК" (сумма вклада и годовая ставка процентов указаны в таблице).

Наименование показателя	1 вариант	2 вариант	3 вариант	4 вариант	5 вариант
Сумма вклада (млн.руб.)	6	4	5	9	7
Процентная ставка (%)	14	13	15	20	16
Срок хранения вклада (кол-во лет)	2	4	3	4	3

Очень часто банки предлагают начисление сложных процентов на вклады и депозиты несколько раз в год. При этом годовую ставку процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов на каждом периоде начисления, называют номинальной годовой ставкой процентов. Если сложные проценты будут начисляться р раз в году по номинальной ставке q, длительность каждого периода в долях года будет равна 1/р , а ставка процентов в каждом периоде начисления будет равна q/р . По рассмотренной выше формуле сложных процентов сумма депозита с процентами после М периодов начисления будет равна:

Сумма процентных денег по депозиту составит:

(9)

Количество периодов начисления будет равно:

где m – срок хранения депозита в годах.

Задача 1.9.

Банк "ПРОМСТРОЙБАНК" при номинальной ставке 20% годовых начисляет ежемесячно проценты на вклад. Определить сумму процентов, начисленных за два года на сумму 4 млн. руб.

Решение.

Количество периодов начисления в данной задаче будет равно: 12*2 =24. По формуле (9) подсчитаем сумму процентов.

руб.

Особое внимание необходимо обращать на то, когда производятся регулярные взносы через одинаковые промежутки времени (в конце года или в начале года). Это тоже влияет на величину начисленных процентов.

1. Если ежегодно в конце каждого года в течении m лет на вклад будет перечисляться сумма F, а проценты на хранящуюся сумму будут начисляться по сложной годовой ставке у , тогда сумма вклада с процентами составит следующую величину:

(10)

2. В случае, если сумма F, будет перечисляться на счет в начале каждого года, то сумму всех поступлений с начисленными процентами через m лет можно подсчитать по следующей формуле:

(11)

Задача 1.10.

Ежегодно на депозитный счет банка "ОСТАНКИНО" с начислением сложных процентов по ставке 20% годовых будут ежегодно вноситься 1 млн. руб. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета, если суммы будут вноситься в конце и начале года в течение 4 лет.

Решение.

1. Ежегодные взносы поступают в конце года.

Сумма депозита с процентами через 4 года будет рассчитана по формуле (10):

руб.

Сумма взносов за 4 года составит:

К=1000000*4=4000000 руб.

Владельцу счета будет выплачена сумма процентов, составляющая следующую величину:

Y=5368000-4000000=1368000 руб.

2. Ежегодные взносы поступают в начале года.

Сумма депозита с процентами через 4 года будет составлять (по формуле (11):

руб.

Сумма выплаченных банком процентов будет равна:

Y=6441600-4000000=2441600 руб.

Задача 1.11.

На депозитный счет банка "ДЕРЖАВНЫЙ" клиент ежегодно будет вносить равные суммы. Сравнить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета, если суммы будут поступать в течении нескольких лет:

а) в конце года

б) в начале года.

Наименование показателя	1 вариант	2 вариант	3 вариант	4 вариант	5 вариант
Сумма ежегодного взноса (млн.руб.)	1	2	1,5	2,5	3
Сложная ставка процентов (%)	13	15	14	17	16
Срок хранения вклада (кол-во лет)	3	5	2	6	4