54. Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Определение точек пересечения прямой и плоскости.

Если прямая и плоскость заданы уравнениями то они: а) параллельны тогда и только тогда, когда а₁А + а₂В + а₃С = 0; б) перпендикулярны тогда и только тогда, когда      

То есть синус угла   между прямой, направляющий вектор которой имеет координаты   и плоскостью, заданной уравнением   вычисляется по формуле:

55. Окружность. Определение. Вывод канонического уравнения.

Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки на плоскости.

Общее уравнение окружности записывается как:

или

56. Эллипс. Определение. Вывод канонического уравнения. Исследование формыэллипса.

Геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости (обычно называемых фокусных) постоянна, называется эллипсом.

Если оси координат расположены так, что Ox проходит через фокусы F₁(C,0) и F₂(-C,0), а О(0,0) совпадает с серед отрезка F₁F₂, то по F₁М+F₂M получаем:

каноническое ур-ие эллипса ,

b²=-(с²-a²).

а и b- полуоси эллипса., а-большая, b-меньшая.

Эксцентриситет. , (если а>b)

(если а<b)

Эксцентриситет характеризует выпуклость эллипса.

У эллипса эксцентриситет находится: 0 .

Случай =0 возникает только тогда, когда с=0, а это есть случай окружности – это эллипс с нулевым эксцентриситетом.

Директрисы (D) Геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до точки эллипса к расстоянию от этой точки эллипса до фокуса постоянно и равно величине , называется директрисами. .

Примечание: у окружности нет директрисы.

57. Гипербола. Определение. Вывод канонического уравнения гиперболы. Исследование формы гиперболы.

Геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости постоянна, называется гиперболой.

Каноническое уравнение гиперболы: , где .

Гипербола есть линия второго порядка.

Гипербола имеет 2 асимптоты: и

Гипербола называется равносторонней, если ее полуоси равны. (а=b). Каноническое уравнение:

Эксцентриситет – отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы:

Так как для гиперболы с>а , то эксцентриситет гиперболы >1.

Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: . Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен равен .

Директрисы – прямые .

Фокальные радиусы: и .

Есть гиперболы, которые имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.