2. Репрезентативная теория

Репрезентативная теория измерений впервые была представлена в трудах польского, впоследствии американского, математика, представителя Львовско-Варшавской математической школы, Альфреда Тарского и получила наиболее полное оформление в работе П. Зуппеса и Дж. Л. Зиннеса «Basic measurement theory». In R. D. Luce, R. R. Bush, & E. H. Galanter (Eds.), Handbook of Mathematical Psychology, Vol. 1. New York: Wiley, 1963, вышедшей в 1967 году и на русском языке. Постановки тонких математических аспектов репрезентативной теории измерений можно найти в книге профессора И. Пфанцагля «Теория измерений»⁷. – М.: Мир, 1976. – 165 с.

В репрезентативной теории измерений предполагается существование для каждого свойства, подлежащего измерению, некоторой эмпирической системы с отношениями, подобной классам А.А. Фридмана и алгебраическим системам А.И. Мальцева:

,

где - множество проявлений измеряемого свойства объекта или явления,

- - арные ( - местные) отношения между элементами множества .

Операции между элементами множества отдельно не рассматриваются⁸, а считаются также отношениями. Так двухместная операция сложения трактуется как трехместное отношение между элементами , которое имеет место тогда и только тогда, когда .

К числу отношений относятся, например, следующие отношения:

- двухместное отношение эквивалентности для некоторых элементов , принадлежащих множеству (тела имеют одинаковую массу или температуру, господа обладают одинаковыми умственными способностями); это отношение рефлексивно ( ), симметрично (если , то ) и транзитивно (если , и то );

- двухместное отношение толерантности ; это отношение подобно эквивалентности, но не является транзитивным ( похоже на , похоже на , но не похоже на );

- двухместное отношение строго порядка ; это отношение не рефлексивно ( неверно), антисимметрично (если , то неверно) и транзитивно (если и то ).

Измерением называется процедура установления гомоморфизма между эмпирической системой с отношениями и соответствующим образом выбранной числовой системой с отношениями , в которой носителем является множество целых чисел, действительных чисел или некоторых других символов с отношениями между ними, которые являются аналогами соответствующих эмпирических отношений . Числовая система является репрезентацией эмпирической системы.

Гомоморфное отображение ставит в соответствие каждому (или нескольким) элементам множества эмпирических объектов единственный объект числового множества , причем таким образом, что если находятся в отношении друг с другом, то их образы находятся друг с другом в отношении .

Это определение более либерально по сравнению с классическим определением измерения и не содержит в себе требования наличия обязательной эмпирической интерпретации алгебраической операции сложения. В тоже время это определение является и более общим. Оно включает в себя все множество классических физических и технических измерений.