6. Разностное уравнение. Передаточная функция цифрового фильтра(цф). Нерекурсивные и рекурсивные цф. Каноническая форма рекурсивных фильтров.

Фильтром называется любое устройство, которое преобразует спектр сигнала. При вычислении на вычислительных машинах устройства, которые производят операции интегрирования, дифференцирования стали называть цифровыми фильтрами. Цифровой фильтр – может быть программой (чаще) или физическим устройством.

В односвязной дискретной системе связь между входными и выходными сигналами определяется линейным разностным уравнением.

Очевидно, всегда можно положить а₀=1. Тогда:

Если бы а или b зависят от n, то подобная система была бы параметрической.

Система, описываемая этим уравнением, называется рекурсивным

дискретным фильтром.

Это устройство состоит из сумматоров, блоков задержек и устройств умножения. Если эти блоки реализовать на аналоговых элементах, то мы получаем аналоговое устройство, реализующее этот алгоритм, со всеми достоинствами и недостатками этих устройств. Поэтому обычно выполняют на дискретных элементах.

Если в этом уравнении все коэффициенты a_m сделать = 0, то получаем:

Это НЕРЕКУРСИВНЫЙ цифровой фильтр.

Если в этом уравнении все коэффициенты b_k сделать = 0, b₀ = 1, то получаем:

Если а_k и b_k и исходный сигнал представлены в виде дискретных кодов, то получим цифровой фильтр. Обычно реализуется программным путем. При этом необходимо учитывать конечность кодов, т.е. округление по амплитуде и погрешности, возникающие в результате округления операции умножения. Всегда должно выполняться, что степень числа в обратной связи больше, чем в прямом тракте.

Если нарисовать схему вертикально, то получим прямую каноническую форму фильтра.

7. Структурные схемы рекурсивных и нерекурсивных цф.

Прямая форма на основе y(n):

Прямая каноническая форма. Наиболее часто используется, поскольку в ней уменьшено число элементов задержки.

Дискретное уравнение, используя z-преобразование, выглядит так:

, таким образом:

Представим: Y(z)=X(z)∙H(z)=X(z)∙H₁(z)∙H₂(z) X(z)∙H₁(z)=V(z) Y(z)=V(z)∙H₂(z)

тогда схема фильтра примет вид:

Каскадная последовательная форма.

Наиболее часто применяется при программной реализации и она получается как произведение отдельных элементов схемы:

Вытекает из представления передаточной функции в таком виде:

а – нули, p – полюсы. Могут быть и комплексными. Если комплексные, то должны быть попарно сопряженными. Их можно записать так:

Это передаточная функция одного блока:

Если этот блок реализовать в канонической форме, то схема фильтра выглядит следующим образом:

Такая форма реализации фильтра обеспечивает наименьший уровень шумов и она меньше чувствительна к шумам округления и точности квантования. Но здесь необходимо проявлять осторожность при выборе пар полюсов. Если корни не комплексные, то просто отдельные слагаемые у блока становятся = 0. Достоинство в том, что она всегда устойчива.

Каскадно-параллельная форма.

Предполагает, что передаточная функция фильтра может быть записана в виде суммы отдельных сомножителей (раскладывается на простые дроби):

если H_i(z) – звено первого порядка:

Если H_i(z) – звено второго порядка:

Это форма представления рекурсивных фильтров.

Для не рекурсивных фильтров:

Схема рекурсивного фильтра в каскадно-параллельной форме приведена на рисунке ниже.