«52»Уравнение касательной к кривой в пространстве

Из аналитической геометрии известно, что всякому уравнению с тремя неизвестными F (x y z)=0 или в явной форме z =f( x y) соответствует в декартовой системе координат некоторая поверхность. Один из способов задания кривой в пространстве, задание как линии пересече-ния двух поверхностей :

Другой способ задания - параметрическое задание x= x( t) , y =y( t) ,z = z( t) t ∈T

Найдем канонические уравнения касательной прямой к пространственной кривой заданной параметрически уравнениям в некоторой точке M , соответствующей значению параметра

Искомые уравнения имеют вид

где m, n, p -проекции (координаты) направляющего вектора прямой .

Кривая L принадлежит R в кубе есть годограф вектор функции , а вектор направлен по касательной к кривой L, следовательно его можно считать направляющим вектором прямой, значит m=x’(to),n=y’(to),p=z’(to). Тогда искомые уравнения примут вид

Определение Нормальной плоскостью к пространственной кривой называется плоскость, перпендикулярная касательной прямой и проходящая через точку касания.

«53»Уравнение касательной к плоскости и нормали к поверхности

Пусть поверхность   задана уравнением

                                    (1)

в неявном виде. Будем считать, что   и в некоторой окрестности точки   функция   имеет непрерывные частные производные, одновременно не равные нулю. Тогда

                 (2)

Мы пишем   вместо  .

Для определенности предположим, что  . Тогда на основании теоремы о неявной функции  существует окрестность точки  , в которой поверхность   описывается явно непрерывно дифференцируемой функцией  . Уравнение касательной плоскости к   в точке  , как мы знаем, имеет вид

,

где

.

В силу этого уравнения касательной плоскости к   в точке   запишется так:

,                (3)

а уравнение нормали к   в точке   - так:

.                                   (4)

Те же уравнения (3), (4) мы получим, если предположить, что   или  . В этих случаях в окрестности   поверхность   описывается явно соответственно уравнениями

.

Мы видим, что при условии (2) поверхность   в любой точке   имеет касательную плоскость, непрерывно изменяющуюся при непрерывном передвижении точки  . Такую поверхность называют гладкой поверхностью  .

Другое дело, если  . В этом случае нельзя гарантировать, что в точке   существует касательная плоскость к  . Она может существовать, а может и не существовать.

«54»Векторы, зависящие от скалярного аргумента, годограф.