Проекция вектора на ось. Билет№19

Опр. Проекцией вектора АВ на ось L наз-ся число, равное

А’В’ со заком плюс, еслиA’B’ одинаково направлены с

осью L и число равное –A’B’, если A’B’ противоположно

направлен с осью L . Обозначается проекция пр.еАВ= A’B’,

где A’B’- проекции соответствующих точек А и В.

Теорема: Проекция вектора а на ось L выч. по ф-ле:

пр.е а=аcos , где -угол между а и L.

Док-во: необходимость. Т.к. A’B’ одинаково направлен с

осью L, то пр.е а =A’B’, т.к. ось L’ L, то векторы A’B’ и АС

имеют одинак. модули и одинак. направление, т.е.A’B’ =AC

. АВС- прямоугольный, угол с- прямой, поэтому АС- катет,

АВ- гипотинуза, а АВС= , поэтому отношениеАС/AB=cos.

Модуль вектораАС=аcos , т.е. пр.е а= АС=аcos.

Достаточность. Т.к. A’B’ противопогожно направлен оси L, то

пр.е а=-A’B’ =-AC. АВС- прямоугольный, угол с- прямой,

а ВАС=- , тогда катетАС=АВcos( - )=аcos( - )=

=-а cos  пр.е а=-АС =-(а cos )=аcos ч.т.д.

ТЕОРЕМА О СВЯЗИ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРД-Т

ВЕКТОРА И ПРОЕКЦИЙ НА КООРД-НЫЕ ОСИ.

( СЛЕДСТВИЯ) БИЛЕТ№20

Теорема: В прямоуг.декарт.системе коорд-т,коорд-ты

произвол.вектора d= проекциям этого вектора на

соответс.коорд-ные оси,т.е.d(xyz), то х=пр.е d, y=пр.оу d,

z= пр.oz d

Док-во:В прямоугольной декарт.сист.коорд-т 0xyz рассм.

произвол.вектор d(x,y,z),базисные векторы i,j,k.По опр-ю

коорд-ты вектора, запишем разложение d по базису,

т.е. d=xi+yj+zk, при чем такое разложение единственное.

Нарисуем d с началом в (.) 0. Делаем построение. Рассм.

вектор OA,OB,OC,OF,AF,FD. Вектор OD=OF+FD;

OF=OA+AF;OD=OA+AF+FD=OA+OB+OC.

Рассм. ОАi, по следствию из первого признака явл.

коллениар-ми, спр-во рав-во: ОА=i. Найдём

модульОА =i=. Если ОА одинаково направлен

с вектором i, то  >0 и тогда==ОА. По опр-ю

проекции вектора получаем, чтоОА=пр.ox d;=пр.ox d.

Пусть ОА противоп-но направлен с вектором i, 

<0, - =ОА. Получаем, что=-ОА, но в этом

случае пр. ox d=-ОА= , т.е. в любом случае=

=пр.ox d ОА=i =пр. ox di. Точно также док-ся,

что OB=пр.oy dj и ОС=пр.oz dk, отсюда получаем :

d=OB=OA+OB+OC=пр.ox di+ пр.oy dj+пр.oz dk,т.е.

получили разложения d по базису i,j,k. Т.к. разложение

вектора по базису всегда единственно, тоx= пр.ox d,

y= пр.oy d, z= пр.oz d ч.т.д. т.е. коорд-ты d совпадают

с проекциями этого вектора на соответств.коорд-ные оси.

Следствие1. Если вектор d=(x,y,z), то модульd=x^2+

+y^2+z^2 Док-во: следует из док-ва и рисунка теоремы.

Следствие2. Если (.)А(х1,у1,z1), В(х2,у2,z2), тоАВ=

= (x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2. Док-во очевидно.

Следствие3.Если ,-углы образованные вектором

d(х,у,z) с соответств-ми осями коорд-т, то

cos=x / x^2+y^2+z^2; cos=y / x^2+y^2+z^2;

cos=z / x^2+y^2+z^2 Док-во: по теореме, коорд-та

х=пр.ох d,по теореме о проекции получаем, что пр.ох d=

=dcos, где -угол между d и осью ох,отсюда

получаем, что cos =x /d , по следствию1 это =

=x /x^2+y^2+z^2,аналогично находим cos, cos, где

– угол между d и осью оу,а – угол между d и осью oz

х,е1,е2 комплонарны, то они лин. завитсимы, поэтому -ют

,,одновременно 0 для кот. вып. рав-во:е1+е2+х=0.

Допустим. что  =0, тогда спр. рав-во:е1+е2=0, при чем

 или  отличен от 0, то тогда е1 и е2 должны быть лин.

завыисимы они коллениарны, что противоречит условию,

поэтому 0 и спр. рав-во:х=-е1-е2 умножим на 1/ =x=-

- /e1-/e2 обозначим /=1, -/ =B1, то спр. рав-во:

х=е1+е2, т.е. выполн. и второе условие, поэтому е1 и е2

обр. базис пр-ва В2

3.Теорема: 4 геометрич. вектора всегда лин. зависимы.

Док-во: Рассм. 4 произвол. геом. вектора a,b,c,d, если среди

них есть нулевой вектор или 2 коллениарных или

3 комплонар., то мн-во явл. лин. зависимым. Поэтому

исключим эти случаи и приведем векторы к общ. началу

Из рис. видно, что С=ОD+DС из рис. по построению

видно DСd  DC=d; ОD=ОА+ОВ;ОАа, по следствию

ОА= а;ОВb, поэтому ОВ=b, подставим эти

выражени в первое рав-во: C=ОА+ОВ+DС=а+b+d,

получаем что a+b+d-c=0 или a+b+d+(-1)c=0,

т.к. –10, то a,b,c,d- лин. завимисые.

Теорема: Базис лин. пр-ва всех геометрич. векторов состоит

из любых трех не комплонар. векторов.

Док-во: В пр-ве всех геом. векторов В3, три любых не

комплонар. вектора е1,е2,е3. Очевидно, что 3 не комплонар.

вектора лин. независимы, покажем что любой вектор х лин.

выражается через е1,е2,е3, по теореме мн-во х,е1,е2,е3, явл.

лин. независимым, т.е. спр. рав-во:х+е1+е2+е3=0, при

этом хотя бы 1 отличен от 0, очевидно, что 0 поэтому

х= - е1 – е2- е3 или х=/e1-/e2- /e3=

=(заменим на 1,2,3 )=x= e1+ e2+ e3 т.е. показали,

что х лин. выраж-ся через е1,е2,е3,поэтому е1,е2,е3 обр.

базис лин. пр-ва всех геом. векторов.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

БИЛЕТ№25

Опр.Скалярным произ-ем a b наз-ся число обозначаемое

ab=abcos, где – угол между а и b. Очевидно, что

если один из векторов нулевой, то ab=0. Очевидно,

что скаляр. произ-е: аа=а^2=а^2 получаем ф-лу для

выч. модуля вектора а= а^2

Скалярное произ-е двух векторов: a b=abcos

(a0;b0;==a^b)

Cв-ва скалярного произв-я:

1. ab=ba (коммутативность)

2. (a)b=(ab)=a(b)

3. a(b+c)=ab+ac

4.ab=0a b

Теорема: Если а=(x1,y1.z1, b=(x2,y2,z2), то скалярное

произв-е ab= сумме произ-я соответствующ. коорд-т

этих векторов, т.е. ab=x1x2+y1y2+z1z2

Док-во: разложим а и b по базису,т.е. a=x1i+y1j+z1k;

b=x2i+y2j+z2k,тогда ab=(x1i+y1j+z1k)(x2i+y2j+z2k)=

=x1x2i^2+x1y2ij+x1z2ik+y1x2ji+y1y2j^2+y1z2ik+

+z1x2ki+z1y2kj+z1z2k^2=x1x2+y1y2+z1z2 ч.т.д.

Следствие: ab т. и т. т., когда ab=x1x2+y1y2+z1z2=0

Теорема: cos угла ab, где а=(x1y1z1), b=(x2y2z2),

находится по ф-ле:

cos =x1x2+y1y2+z1z2/x1^2+y2^2+z2^2x2^2+

+y2^2+z2^2

Док-во: из ф-лы скаляр. произв-я следует, что

cos=ab/аb, затем вычисляем это в коорд-тах

и получ-ся ф-ла

УСЛОВИЕ ОРТОГАНАЛЬНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ.

БИЛЕТ№27.

Теорема: ( признак ортоганальности векторов) 2 вектора

ортог-ны т.и т. т., когда их скаляр. произв-е=0;

ab ab=0.

Док-во: необходимость. Пусть ab, т.е.=(a^b)=/2;

cos =cos /2=0, получаем что ab= аb0=0

Достаточность. Пусть ab=0, если 1 из векторов нулевой,

то а и b явл. ортоганал. по опр-ю. Рассм. случай, когда

а0иb0.Из того,что ab=аbcos=0/2,т.еаb

ПРАВЫЕ И ЛЕВЫЕ ТРОЙКИ. БИЛЕТ№28.

Опр. Упорядоченная тройка векторов a,b,c – наз. правой,

если при приведении их к общ. началу кратчайший

поворот от а к b кажется совершающихся против часовой

стрелки, при обозрении его из конца вектора с.

Любая тройка будет явл-ся либо правой, либо левой и

если a,b,c- правая, то b,c,a также c,a,b тоже правые и

одновременно тройки b,a,c; a,c,b; c,b,a будут левые

Векторное произведение 2-х векторов.БИЛЕТ№29

Опр. Векторным произ-ем а на b наз. вектор с, который

опр-ся по условиям:

1. с ортоганален а и b, т.е. ca,cb

2. модульс =absin

3. с нап-лен так, чтобы тройка векторв a,b,c была правой.

Св-ва векторного прозв-я:

1. векторное произв-е не коммутативно, т.е. a*b=-(ba)

2. векторн. прои-е (а)*b= (a*b)=a*(b)

3. векторн. произ-е (a+b)*c=a*c+b*c

Доказываются

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА И

ТРЕУГОЛЬНИКА. БИЛЕТ№30

Теорема: Площадь параллелограмма построенного на

векторах а и b, приведенных к общ. началу вычисл. по

ф-ле: S трапеции a*b. Очевидно, что S тр. =

=absin=a*b., т.е. док-во очевидно.

Теорема: S треугольника построенного на векторах а и

b приведенных к общ. началу=S1/2а*b.

ПРИЗНАКИ КОЛЛЕНИАРНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ.

БИЛЕТ№31.

Теорема:ab т. и т. т., когда их векторное произв-е=0

Док-во: необходимость. Если ab,то (a^b)==0 либо  ,

тогда (a*b)=c=аbsin0 либо  =0 и тогдас=0,

т.е. a*b=0

Достаточность.Пусть a*b=0absin=0.Если а или b

явл.нулевым вектором,то а и b кол-ны.Рассм.случай,

когдаа0 иb0 но sin=0=0 либо , поэтому аb

ПРИЗНАКИ КОМПЛОНАРНОСТИ 3-Х ВЕКТОРОВ БИЛЕТ№34.

Теорема: 3 вектора комплонарны т. и т. т., когда их

смешанное произв-е =0.

Док-во: необходимость. Пусть 3 вектора a,b,c

компланарны, приведем их к общ. началу и они

окажутся в одной пл-ти. Найдем вектор d=a*b;

d=absin, тогда т.к. d ортоганален с, то скаляр.

произв-е dc=0, получили что abc=(a*b)c=dc=0 ч.т.д.

Достаточность. Пусть смешанное произв-е a,b,c=0,

обозначим a*b=d подчеркнем, если один из векторов

abc нулевой, то эти векторы компланарны, ясно также,

что если среди них есть 2 коллиниар. вектора, то они

лин. зависимые, поэтому 3 вектора a,b,c- лин. зависимы,

 они компланарны, поэтому исключим эти случаи из

рассмотренного. Из условия что abc=dc=0;

dccos=0 т.к.c0;d=0 т.е.d=a*b =absin =0.

Т.к.a0, b0 что sin=0;=0;=, тогда в этом

случае а и b коллениарны, что явл-ся противоречием

остается случай, когда cos=0, то =/2, т.е. d

ортоганален с , получилось что d ортоганален abc

поэтому после приведения abc к общ. началу, они лежат

в одной пл-ти перпендик.d,т.е.явл. компланарными ч.т.д.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА И

ТЕТРАЭДРА.БИЛЕТ№35.

Теорема: смешанное произв-е трех некомплонар.

векторов a b c = объему параллелепипеда построенного

на векторах a b c , приведенных к общ. началу, взятому

со заком плюс, если (abc)- тройка векторов правая, и

объему параллелепипеда со знаком минус, если тройка

левая: abc=+/-V параллелепипеда.

Док-во: 1) тройка явл. правой. V=Sосн. H

В основании – параллелограмм S=a*b

V=a*bh

Обозначим через d=a*b; n=1. Найдем пр.n c. Опустим

перпендикуляр. Очувидно, что пр.n c=h. Вектор nd,

поэтому d=n; d=nda*b; d=a*bn

Найдем a b c –смеш. произ-е: abc=dc=a*bnc=

=a*bnccosa*bccosa*bпр.n c=Sh=V

В первом случае показали, что abc=V

2)Тройка векторов левая. a*b=d; n –одинаковонаправл.

с d; d=n, положительна, т.к. n и d- одинаково

направлены, получаемd=n=; d=a*b=S; d=Sn

Найдем пр.n c=-h. Найдем смеш. произ-е abc=(a*b)c=dc=

=(Sn)c=S(n*c)=SnccosS(ccos(что в скобках

явл. проекцияй)=Sпр.n c=S(-h)=-(Sh)=-V ч.т.д.

Отсюда вытекает ф-ла для вычисл. объема

параллелепипеда.

Следствие. Vпараллелеп.=abc

Следствие. Vтетраэдра построеннго на векторах abc,

приведенных к общ. началу равен: V=1/6 abc

ВЫЧИСЛЕНИЕ СМЕШЕННОГО ПРОИЗ-Я В

КООРД-ТАХ. БИЛЕТ№36.

Теорема: если а имеет коорд-ты (x1y1z1);b=(x2y2z2);

c=(x3y3z3), то смешанное произв-е abc вычисл. по ф-ле=

опр-лю третьего порядка: x1y2z2

abc x2y2z2

x3y3z3

Ф-ла док-ся непосредственно выполнением всех действий

в коорд-тах.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРД-Т ТОЧКИ ПРИ

ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ, ПОВОРОТЕ ОСЕЙ В

ОБЩЕМ СЛУЧАЕ. БИЛЕТ№37

1 случай.Ф-лы параллельного переноса осей.Рассм. (.) М.

Пусть рассм O’M и ОО’.Пусть (.)М(xy)- в старой сист.

коорд-т М(x’y) в нов.сист. коорд-т и пусть О’(ab) старой

сист. коорд-т. По опр-ю коорд-т в (.) получ., чтоОМ=(xy),

т.е.ОМ=xi+yj;O’M(x’y’)или=x’i+y’j;OO’(ab)или=ai+bj.

Из рис.видно,чтоOM=OO’+O’Mxi+yj=ai+bj+x’i+y’j 

xi+yj=(a+x’i)+(b+y’j).Равные векторы имеют единст-ное

разложение по данному базисучто соответств.коэф-ты

равны, т.е. x=x’+a это выражение старых коорд-т в (.)М

y=y’+b через новые коорд-ты x’y’ или спр.

ф-лы: x’=x-a; y’=y-b выр-е нов. коорд-т через старые.

2 случай.Ф-лы приобр-ния коорд-т при повороте осей.

Пусть (.)М (xy) в старой и М(x’y’) в новой, т.е.получаем

ОМ=xi+yj;OM=x’i’+y’j’.Найдем коор-ты i’относительно

старого базиса: коорд-та x1=пр.i i’= i’cos=cos

y1=пр.j i’= i’cos (/2-)=sin,

поэтому i’ (cos;sin)=cosi+sinj. Найдем коорд-ты j’.

Пусть х2=пр.i j’=j’ cos (/2+)=-sin.Найдем коорд-ты

y2=пр.j j’=j’ cos=cos j’=(-sin,cos)=-sini+cosj.

Подставим эти выражения в ранее получ. ф-лу: OM=

=x’(cosi+sinj)+y’(-sini+cosj)=(x’cos-y’sin)i+

(x’sin+y’cos)j=xi+yj x=x’cos-y’sin;y=x’sin+

+y’cos. Получили выраж-я старых

СВ-ВА ЛИН. ОПЕРАЦИЙ. БИЛЕТ№77

1.слож-е м-ц коммутативно, т.е А+В=В+А

2.слож-е м-ц ассоциативно,т.е (А+В)+С=А+(В+С)

3.А+0=А, где 0- нулева м-ца одинак-я с А порядка

4.Для  А  противопол-ная м-ца -А такая, что А+(-А)=0

Св-во умножения на число:

5. 1  А=А

6. АА

Две линейные операции связаны дистрибутивными законами

7.(+)А=A+В

8.АВАВ

ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦ. БИЛЕТ№78.

Опр. Произв-е м-цы А m*p=[aij] на м-цу B p*n [bij] наз-ся м-ца

АВ m*n=[cij], где cij = сумме произ-й эл-тов i-той строки м-цы

А на соотв-ие эл-ты j-ого столбца м-цы В

Cij=aij bij+ai2b2j+...+aip bpj

СВОЙСТВА

1.АЕ=ЕА=А

2.АО=ОА=О

3.(АВ)С=А(ВС)

4.(АВ)=(А)В=А(В)

5.(А+В)С=АС+ВС