Вопрос №12 Cв-ва классической вероятности.

Вероятность- это число, которое выражает степень уверенности наступления того или иного события.

Свойства вытекают из классического определения вероятности:

1)вероятность достоверного события = 1. (P(U)=1)

U- достоверное событие

n- число всех испытаний. т.к. U- достоверное, => m=n

P(U)= = =1

2)если А- невозможное событие ( , то вероятность невозможного события P(A)=0, тогда P(A)= = =0

3)вероятность любого случайного события А есть положительное число, заключенное между 0 и 1.

Док-во:

А- случайное событие.

n- число всех исходов испытаний.

Событие А происходит m раз (0≤m≤n), тогда разделим части неравенства 0≤m≤n |:n. В результате получим 0≤ ≤1 => 0≤P(A)≤1 .

4)сумма вероятностей двух противоположных событий = 1.

P(A)+P( )=1.

Док-во:

n- число всех испытаний

m- число испытаний благоприятствующих появлению события А

=> появилось (n-m) раз.

Используя классическую формулу определения вероятности, получим:

P )=

P( )=1-

P( )=1-P(A)

P(A)+P( )=1

Заметим, что формула классического определения вероятности в применении ограничена:

1)конечным числом испытаний (n)

2)события равновозможные и попарно несовместны, требуется найти формулу, позволяющую вычислять вероятность при очень большом числе испытаний (n →+∞)

При большом числе испытаний для определения вероятности применяют относительную частоту появления события А.

Вопрос №10

Операции над событиями:

1)Суммой событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В.

Обозначение: С=А В Попадание в мишень хотя бы 1, т.е. либо при 1 выстрела А, либо при втором выстреле В.

2)Произведением 2х событий А и В называется событие С, состоящее в одновременном наступлении обоих событий. Обозначение: С=А ∩ В Попадание при двух.

Заметим, что произведение 2х несовместных событий есть событие невозможное, т.е. (А∩В=Ø), где А и В несовместные.

3) Противоположным событием к А называется событие, состоящее в ненаступлении события А и обоз. . т.е. выполняются условия:

1. А =U достоверно

2. А ∩ = Ø невозможно

4)Событие В является частью события А, если наступление события В влечет наступление события А.

Обозначение: В А. (вложение) ??Заметим, что А В=А; А ∩ В=В.

Полной системой (группой) событий называется совокупность попарно не совместных событий, одно из которых должно произойти.

Другими словами:Совокупность событий А₁, А₂,...,А_n образует полную систему событий, если они попарно несовместны:

1)А₁ А₂ … A_n= U (одно из них происходит)

2)А_i ∩ A_j= ( i≠j)

Геометрическая иллюстрация операций над событиями:

Для геометрической иллюстрации событие А назовем попадание точки в область А, а событием В попадание точки в область В.

РИСУНКИ:

1) Сумма событий А В=С

а)

б)

2)Произведение 2х событий. С=А ∩ В

4)Событие В является частью события А, если наступление события В влечет наступление события А.

А В=А; А ∩ В=В

Замечание:Противоположные события образуют полную группу событий, т.к. их объединение- это достоверное событие, их произведение невозможное событие.

(т.к. 1. А = U; 2. A )

Вопрос №13

Геометрическая вероятность определяется в случае бесконечного числа исходов испытания. Пусть событие А состоит в том, что наугад брошенная точка в область D попадет в область d. Вероятность такого события пропорциональна площади области d.

P(A)=

mesD- площадь D, если область часть плоскости (D принаждлежит R²)

mesD-это объем области D, если D принадлежит R³

mesD- это длина D, если D принадлежит R

ЗАДАЧА о встрече

Условие: 2 лица А и В условились встретиться в определенном месте между 12 часами и часом дня. Пришедший первым ждет другого в течение 20 минут и уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти на удачу и моменты прихода независимы.

Решение:

Обозначим момент прихода лица А - х, а лица В - у. Чтобы их встреча состоялась необходимо: |х-у|≤20

D-множество точек исходов испытаний

1)х-20≤у; у=х-20

2)у≤х+20; у=х+20

Найдем множество точек благоприятствующих встрече: |х-у|≤20 <=> -20≤х-у≤20 <=>

;

P=

Р= = =

Вопрос №16

Чтобы ввести понятие зависимых и независимых событий предварительно рассмотрим пример:

В урне 2 белых и 3 черных шара. Чему равна вероятность появления белого шара при 1ом извлечении из урны? Чему равна вероятность появления белого шара при 2ом извлечении? Решение на 2 пункта:

1)Схема возвращенного шара

А-событие появления белого шара при 1ом извлечении

В-событие появления белого шара при 2ом извлечении

P(A)= ; P(B)=

2)Схема невозвращенного шара

P(A)= ; P(B)=

Вероятность события В вычисленная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью и обозначается P( ) или P(B/A)=1/4

События А и В называются зависимыми, если вероятность каждого из них зависит от того произошло или не произошло другое событие. (2 случай)

События А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того произошло или не произошло другое событие. (1 случай)

Вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А произошло, называется условной вероятностью. P(B/A)

Из определений следует:

Если А и В независимые события, то вероятность события А совпадает с условной вероятностью события P(A)=P(A/B) и вероятность события B совпадает P(B)=P(B/A) .

А и В независимые события

Если записывать в схемах, то это выглядит так:



Вопрос №14

Теоремы сложения:

Теорема №1. Вероятность суммы событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность произведения. P(A B)=P(A)+P(B)- P(A∩B)

Док-во: При доказательстве воспользуемся формулой классического определения вероятностей

Пусть n- общее число исходов испытания, m- число исходов испытаний благоприятствующих появлению события А.

k- число исходов испытаний благоприятствующих появлению событию B.

ℓ- исходов испытаний благоприятствующих появлению события A∩B

=> P(A)= ; P(B)= ; P(A∩B)=

Наступлению только события А благоприятствует m-ℓисходов испытания.

Наступлению только соб В благоприятствует k-ℓ исходов испытания.

наступлению события A B благоприятствует (m-ℓ)+(k-ℓ)+ℓ исходов испытаний.

След-но по классической формуле вероятность события

P(A B)= P(A B)=

P(A B)=

P(A B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

Теорема №2. Если события А и В несовместны, то вероятность суммы этих событий = сумме вероятностей. P(A B)=P(A)+P(B)

Доказательство:

По Теореме1. P(A B) = P(A)+P(B)-P(A∩B), но по условию теоремы события А и В несовместны => их произведение есть событие невозможное, а вероятность невозможного события = 0 (Р(Ø)=0)=> P(A B)=P(A)+P(B)

??Из теоремы 2 следует. Пусть событие А₁, А₂,…,A_n попарно несовместны, тогда вероятность суммы