2. Функция f(X) называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде :

= A( )

A( ) –постоянная, зависящая от

/ м функция, более высокого порядка малости, чем , т.е.

в степенях 2,3 и т.д.

) часть приращения называется дифференциалом функции f(x) в точке и обозначается df(x) = A(

dx

Геометрический смысл производной : Дифференциал функции численно равен приращению ординаты касательной к графику функции в точке х получил приращение

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде :

= A( )

Для того чтобы функция была дифференцируема в точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Функция f (x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в этой точке, если в этой точке существует предел м ре равен значению функции в этой точке

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I, то ее называют непрерывной на промежутке I .

Билет № 8

1. Y= f( ) + f΄( - уравнение касательной

Y= - ( - ) – уравнение нормали

2. Lim = 1 при х 0 –первый замечательный предел

3. Доказательство

4. 

5. Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

6. Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности ( ).

7. Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке . Точка H — проекция точки K на ось OX.

8. Очевидно, что:

9. (1)

10. (где  — площадь сектора )

11. 

12. 

13. 

14. (из : )

15. Подставляя в (1), получим:

16. 

17. Так как при :

18. 

19. Умножаем на :

20. 

21. Перейдём к пределу:

22. 

23. 

24. 

Следствия :

Билет № 9

1. Если функция возрастает на каком- либо интервале, то во всех точках этого интервала ее производная больше 0.

Если функция убывает на каком- либо интервале, то во всех точках этого интервала ее производная меньше 0.

2. Если x - независимая переменная, то dx = x - x₀ (фиксированное приращение). В этом случае имеем

df(x₀) = f'(x₀)dx.     (3)

Если x = φ(t) - дифференцируемая функция, то dx = φ'(t₀)dt. Следовательно,

т. е. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргумента.

Инвариантность – сохранение формулы дифференциала независимо от того, выражается он через конечную переменную, или через промежуточную.

Билет № 10.

1. Функция f(X) называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде :

= A( )

A( ) –постоянная, зависящая от

/ м функция, более высокого порядка малости, чем , т.е.

в степенях 2,3 и т.д.

) часть приращения называется дифференциалом функции f(x) в точке и обозначается df(x) = A(

dx

Приближенное значение приращения функции совпадает с ее дифференциалом.

2. Теорема Ферма : Пусть функция f(x) определена и непрерывна в окрестности точки и имеет экстремум в этой точке, тогда f΄( ) = 0 или не существует.

Теорема Ролля : Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на отрезке [a,b] и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(a)=f(b), тогда найдется по крайней мере 1 точка С [a,b], в которой f΄(C)=0.

Билет № 11.

1. При раскрытии неопределенности важным средством вычисления таких пределов типа ; ; и т.д. является правило Лопиталя.

Правило Лопиталя : Пусть функция f(x) и g(x) дифференцируемы в окрестности точки ,причём

Lim f(x) = 0 при х

Lim g(x) = 0 при х , тогда имеет место: lim при х =

2. Теорема Лагранжа : Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на отрезке [a,b] и на концах отрезка принимает различные значения f(a) f(b), тогда имеет место формула Лагранжа :

= f΄( C )

Теорема Коши : Пусть 2 функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы на отрезке [a,b] и пусть g(x) внутри отрезка такова, что внутри отрезка [a,b] g΄(x) Тогда имеет место формула Коши, обобщающая формулу Лагранжа :

=

Билет № 12.

1. Необходимое условие экстремума функции : Если f΄(x) = 0, то в точке (критическая) может быть экстремум.

Достаточное условие экстремума : Чтобы в критической точке находился экстремум, достаточно существования в этой точке f΄΄( ) 0.

2. Определение. Функция, заданная формулой у=а^х (гдеа>0, а≠1), называется показательной функцией с основанием а. Сформулируем основные свойства показательной функции (их доказательство выходит за рамки школьного курса). 1. Область определения — множество R действительных чисел. 2. Область значений — множество R₊ всех положительныхдействительных чисел. 3. При а > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция убывает на множестве R.

Графики показательных функций для случаев а>\ и 0<1<1 изображены на рисунках 1-2. 4. При любых действительных значениях х и у справедливы равенства

а^xа^y = а^x+y;

(ab)^x = a^xb^x;

(a^x)^y = а^xy.

(

( )΄= ln a

Билет № 13.

1.

Построение графиков. График логарифмической функции log_aх можно построить, воспользовавшись тем, что функция log_aх обратна показательной функции y = a^x. Поэтому достаточно построить график функции y = a^x, а затем отобразить его симметртрично относительно прямой у = х.

Свойства функции у = logaх , a > 1: D(f) = (0; + ); не является ни четной, ни нечетной; возрастает на (0; + ); не ограничена сверху, не ограничена снизу; не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; непрерывна; E(f) = (- ;+ ); выпукла вверх; дифференцируема.	Свойства функции у = logaх , 0 < a < 1 : D(f) = (0;+ ); не является ни четной, ни нечетной; убывает на (0; + ); не ограничена сверху, не ограничена снизу; нет ни наибольшего, ни наименьшего значений; непрерывна; E(f) = (-; + ); выпукла вниз; дифференцируема.
Свойства функции у = ln х : D(f) = (0; + ); не является ни четной, ни нечетной; возрастает на {0; + ); не ограничена сверху, не ограничена снизу; не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; непрерывна; E(f) = (- ;+ ); выпукла вверх; дифференцируема.

1. Y= ln f(x) –логарифмическая функция

Y=ln t, t= f(x), тогда по формуле производной сложной функции имеем :

= f

F(x) =

Для вычисления производной прологарифмируем :

Ln f(x) =v(x) ln u(x)

Продифференцируем :

2. 

Следствия :

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Билет № 14.

1. Заметим, что для натуральных n степенная функция определена на всей числовой оси. Для произвольных вещественных n это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x .

К основным свойствам степенной функции y = x ^a при a > 0 относятся:

• Область определения функции - промежуток (0; + ).

• Область значений функции - промежуток (0; + ).

• Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).

• Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x₁ < x₂ то a^r₁ < a^r₂ .

• График степенной функции при a > 0 изображен на рисунке.

К основным свойствам степенной функции y = x ^a при a < 0 относятся:

• Область определения функции - промежуток (0; + ).

• Область значений функции - промежуток (0; + ).

• Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).

• Функция строго монотонно возрастает в области определения функции, то есть, если x₁ < x₂ то a^r₁ > a^r₂ .

• График степенной функции при a < 0 изображен на рисунке.

Справедливы следующие свойства степенной функции:

• x^a₁x^a₂ = x^a₁ ^{+ a}₂

• x^a₁ : x^a₂ = x^a₁ ^{- a}₂

• (x^a₁)^a₂ = x^a₁ ^a₂

• x^a₁ > x^a₂, x > 1, a₁ > a₂

• x^a₁ < x^a₂, 0 < x < 1, a₁ < a₂

• Функция f(x) называется непрерывной в точке ,если в этой точке существует предел, и он равен значению функции в этой точке.

( >0) ( | < : |f(x) – f( | <

2. Если функция f(x) непрерывна в каждой точке интервала [a, b], то функция f(x) называется непрерывной на этом интервале.

• Если предел в точке отсутствует или существует, но не равен значению функции в этой точке , то говорят, что функция f(x) «разрывна» в точке или «терпит разрыв» в точке

Точка х₀ называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Точка х₀ называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Если значения на берегах разрыва разные, то значение функции в точке может быть любым (или вообще отсутствовать), всё равно будет давать разрыв первого рода. Если же значения на берегах разрыва совпадают, то для наличия разрыва нужно, чтобы либо эти совпадающие значения были отличны от значения функции в точке , либо функция в этой точке была вовсе не определена. Если в этом случае переопределить (или доопределить) функцию в точке , положив , то полученная изменённая функция будет уже непрерывна в точке и разрыв в точке исчезнет; отсюда и название такого разрыва -- устранимый.

• 1) если функции f(x) и g(x) являются непрерывными в точке ,то их сумма, разность, произведение и частное (кроме 0- знаменатель) также есть непрерывные функции в точке

• 2) f(x) , x= ,тогда говорят, что задана композиция функций f и .

Другими словами, это сложная функция. Если f(x) непрерывны в соответствующих областях, то их композиция также непрерывна.

Билет № 15.

1. 1-ая теорема Коши : Если функция f(x) на концах отрезка [A,B] принимает разные знаки ,то найдется по крайней мере 1 точка , в которой f( ) = 0

2-ая теорема Коши : Пусть функция f(x) принимает на отрезке [A,B] какие – либо значения A и B , А<B, тогда она принимает любые значения между A и B, т.е. сплошь принимает все значения между А и В.

Теорема Больцано—Коши. Пусть  функция f (х) непрерывна на отрезке [а ; b] и f (а) =А, f (b) = В.  

Тогда для любого числа С, заключенного между А и В, внутри этого отрезка найдется такая точка с, что f (с) = С.

2. 

Область определения : [-1 ;1]

Область значений : [0 ;

Четность, нечетность : ни четная, ни нечетная

Нули: у= 0 при х=1

Промежутки знакопостоянства : y> 0 при х [-1 ; 1)

Экстремумы : нет

Промежутки монотонности : убывает на всей области определения

Y= cos x

Свойства :

1. D(f)= R;

2. E(f)=[-1;1]

3. ограничена сверху и снизу на всей области своего существования;

4. при x=0+2πn, n из Z принимает наибольшее значение y=1, а при x=π+2πn принимает наименьшее значение y=-1;

5. периодическая с основным периодом 2π;

6. четная;

7. возрастает на отрезке [-π+2πn;0+2πn], n из Z и убывает на отрезке [0+2πn;π+2πn], n из Z;

8. пересекает ось абсцисс в точках (π/2+πn;0), n из Z и ось ординат в точке (0;1);

9. графиком является косинусоида.

Билет № 16.

1. 1-ая теорема Вейер Штрасса : Функция f(x) , непрерывная на отрезке [a,b] , ограничена на нем.

2-ая теорема Вейер Штрасса : Функция f(x) , непрерывная на отрезке [a,b] , достигает на этом отрезке своих наибольшего sup f(x) и наименьшего inf f(x) значений.

2. Производная от производной называется производной второго порядка или второй производной и обозначается :

f΄(x)΄= f΄΄(x) =

(x) =

Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала функции и обозначается :

f(x) = d(df(x)) =d(f΄(x)dx) = f΄΄(x) d

Для дифференциала n-ого порядка имеем :

f(x) = (x) d

Билет № 17

1. Равноме́рная непреры́вность — это свойство функции быть одинаково непрерывной во всех точках области определения.

Теорема Кантора : Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], то она равномерно-непрерывна на этом сегменте.

Теорема Кантора : Любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств

2. Формула Тейлора :

Билет № 18

1. Y= arctg x

Область определения : R

Область значений : (-

Четность, нечетность : нечетная

Нули : у=0 при х=0

Промежутки знакопостоянства : y> 0 при x (0 ;

Y< 0 при x (-

Экстремумы : нет

Промежутки монотонности : возрастает при x R

Y=tg x

Свойства функции

• Область определения: объединение интервалов

• Область значений: R

• Четность, нечетность: функция нечетная

• Период:

• Нули: y = 0 при x = n, n Z

• Промежутки знакопостоянства:

• Экстремумов нет

• Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом интервале области определения

• Асимптоты: x = + n, n Z

2. Функция f(x), непрерывная и определенная на отрезке [A,B] , и дифференцируемая на нем, называется выпуклой, если ее график лежит не выше касательной, проведенной в любой точке графика функции.

Функция f(x), непрерывная и дифференцируемая на отрезке [A,B] , называется вогнутой, если ее график лежит не ниже касательной , проведенной в любой точке отрезка [A,B]

Характер выпуклости или вогнутости функции зависит от знака второй производной функции.

Точка называется точкой перегиба функции, если в достаточно малой ее окрестности график функции лежит по разные стороны от касательной, проведенной в этой точке.

При переходе через точку перегиба вторая производная меняет знак, следовательно, в точке перегиба f ( ) = 0. Это и есть необходимое условие существования точки перегиба.

Достаточные условия существования точек перегиба :  1. Если меняет знак при переходе через точку x₀, то x₀ - точка перегиба.

     2. Если топри n четном x₀ - точка перегиба, при n нечетном x₀ не является точкой

Достаточные условия существования точек перегиба : 1)если f ΄΄( x) меняет знак при переходе через точку , то - точка перегиба.

2)Если f ΄΄( ) = f ΄΄΄( ) = … = ) = 0, ) то при n четном - точка перегиба, при n нечетном не является точкой перегиба.

Билет № 19

1. ( =

2. Y= ctg x

Cвойства :

1. D(f)= R кроме x=π+πk, k из Z;

2. E(f)= R;

3. функция не ограничена ни сверху, ни снизу;

4. не принимает ни наибольшего ни наименьшего значения

5. периодическая с основным периодом π;

6. нечетная;

7. убывает на отрезке [0+πn;π+πn], n из Z;

8. пересекает ось абсцисс в точках (π/2+πn;0), n из Z, не имеет пересечений с осью ординат;

9. графиком является котангенсоида.

Y= arcctg x

Свойства :