6. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В) = Р(А)+Р(В).

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

(А+ ) = (А) + ( ) – (А).

Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

(А ) = (А) ( ).

Иногда бывает необходимо определить вероятность события В при дополнительном условии, что произошло некоторое другое событие А.

Условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло называется вероятность Р(В/А)(или Р_А(В)), которая вычисляется по формуле

(или Р(А/В) = ).

При этом, равенство в скобках определяет условную вероятность события А при условии, что событие В произошло.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

Р(АВ) = Р(А) Р(В/А),

Р(АВ) = Р(В) Р(А/В).

Пример 8. В урне 30 шариков: 5 голубых, 10 красных и 15 белых. Какова вероятность того, что из урны будет извлечен цветной шарик.

Решение. Извлечение цветного шарика означает извлечение шарика голубого или красного цвета. Вероятность извлечения голубого шарика (событие А): Р(А) = , красного шарика (событие В): Р(В) = . Так как события А и В несовместны, то Р(А+В) = Р(А) + Р(В) = (или непосредственно: Р(А+В) = ).

Пример 9. В коробке находятся 15 изделий, причем 5 из них высшего сорта. Продавец берет наугад три. Найти вероятность того, что хотя бы одно из них окажется высшего сорта.

Решение. Событие А – выбрать хотя бы одно изделие высшего сорта - состоит из трех событий: А₁ – только одно из трех изделий высшего сорта, А₂ – только два из трех изделий высшего сорта, А₃ – все три изделия высшего сорта. То есть, А = А₁ + А₂ + А₃. Все события несовместны. По теореме сложения несовместных событий:

Р(А) = Р(А₁ + А₂ + А₃) = Р(А₁) + Р(А₂) +Р(А₃).

Вероятности событий А₁, А₂ и А₃ вычисляются следующим образом:

Р(А₁) = Р(А₂) = ; Р(А₃) =

Тогда вероятность события А будет равна

Р(А) = .

Пример 10. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень будет только одно попадание.

Решение. Событие, состоящее из одного попадания в мишень, представляет собой сумму двух событий А₁ + А₂ , где А₁ - попадание первого стрелка и промах второго, А₂ - попадание второго стрелка и промах первого.

Тогда вероятность одного попадания в мишень вычисляется следующим образом:

Р = 0,6(1 – 0,8) + 0,8(1 – 0,6) = 0,6 ^. 0,2 + 0,8 ^. 0,4 = 0,44.

Пример 11. В коробке лежат жетоны с номерами от 11 до 60. Наугад выбирается один жетон. Найти вероятность того, что номер жетона является кратным 2 или 3.

Решение. Событие А – номер жетона кратен двум, событие В – кратен трем. Событие АВ – номер кратен и 2, и 3. Тогда событие А + В – номер жетона кратен 2 или 3. Вероятность суммы совместных событий -

(А + ) = (А) + ( ) - (А ), при этом соответствующие вероятности событий, будут:

Р(А) = ; Р(В) = ; Р(АВ) = , а в итоге вероятность суммы:

Р(А + В) = .

Пример 12. В коробке находится 20 изделий, из которых 12 – высшего сорта. Покупатель берет из коробки два изделия одно за другим. Какова вероятность того, что оба изделия высшего сорта.

Решение. Событие А - первое из изделий высшего сорта, событие В - второе изделие высшего сорта. Событие А является независимым, поэтому его вероятность равна

Р(А) = .

Событие В зависит от того, появилось или не появилось событие А, следовательно его вероятность является условной: если первое изделие было высшего сорта, то вероятность того, что второе изделие будет высшего сорта равна

Р(В/А) = .

Тогда вероятность того, что оба изделия высшего сорта, вычисляется следующим образом:

Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = .

Пример 13. При тех же условиях, что в примере 10, покупатель вынимает одно из изделий, затем возвращает его в коробку, перемешивает изделия и вынимает во второй раз. Нужно найти вероятность того, что оба вынутых изделия высшего сорта (выборка с возвращением).

Решение. Вероятность того, что первое изделие высшего сорта равна

Р(А) = .

Очевидно, событие - «во второй раз вынуть изделие высшего сорта» является независимым от предшествующего события, поэтому –

Р(В) = .

Тогда вероятность совместного появления двух событий равна

Р(АВ) = Р(А)Р(В) = .