31 .Условия монотонности функции на интервале
Для
того, чтобы дифференцируемая на интервале
функция
не убывала (не возрастала) на этом
интервале необходимо и достаточно,
чтобы производная этой функции была
неотрицательной (неположительной) на
этом интервале.Если всюду на интервале
производная функции
положительная (отрицательная), то функция
на этом интервале строго возрастает
(строго убывает).
32. Достаточные условия локального экстремума
Первое
достаточное условие локального экстремума
дифференцируемой функции.
Пусть точка
является точкой возможного экстремума
функции
,
и пусть функция
дифференцируема всюду в окрестности
точки
.
Тогда, если в пределах указанной
окрестности производная
положительна слева от точки
и отрицательна справа от точки
,
то функция
имеет в этой точке локальный максимум.
Если же производная
отрицательна слева от точки
и положительна справа от точки
,
то функция
имеет в этой точке локальный минимум.
В случае, когда производная
имеет один и тот же знак слева и справа
от точки
,
то точка
не является точкой локального
экстремума.Достаточное
условие локального экстремума
недифференцируемой функции.
Пусть функция
дифференцируема всюду в некоторой
окрестности точки
,
за исключением, быть может, самой точки
,
и непрерывна в точке
.
Тогда, если в пределах указанной
окрестности производная
положительна (отрицательна) слева от
точки
и отрицательна(положительна) справа от
точки
,
то функция
имеет в этой точке локальный максимум
(минимум).Второе достаточное условие
локального экстремума дифференцируемой
функции.
Пусть точка
является точкой возможного экстремума
функции
,
и пусть функция
имеет в точке
конечную вторую производную. Тогда
точка
является точкой локального максимума,
если
,
и минимума, если
.
33. Отыскание точек локального экстремума.
Для
отыскания у дифференцируемой функции
точек возможного экстремума следует
найти все корни уравнения
.Точки,
в которых производная функции
обращается в нуль, называются стационарными
точками.
Критическими
точками
называются точки, в которых функция
может иметь экстремум, то есть стационарные
точки, в которых производная равна нулю
и точки, в которых функция не имеет
конечной производной.Итак,
для отыскания критических точек
возможного экстремума следует найти
все корни уравнения
и точки, в которых функция не имеет
конечной производной